Starting with the Fick’s equation for the diffusion of
through a binary mixture of components A and B
derive the following relations, stating the assumptions made in the derivations:
Passo 1
O enunciado nos dá a lei de Fick para o fluxo molar de
numa mistura binária
-
:
Pede-se derivar a forma análoga em termos de fluxos mássicos,
indicando claramente as suposições usadas. Aqui precisam ficar explícitos quais quantidades foram dadas e quais são as incógnitas: a equação inicial está em termos de fluxos molares
, concentração molar total
e fração molar
; queremos a equação em termos de fluxos mássicos
, densidade parcial
e fração mássica
.
Passo 2
Definições e relações básicas — vou explicar cada símbolo e relação, porque é essencial para transformar de molar para mássico:
Relações úteis imediatas (explico por que valem):
A primeira é óbvia: multiplicando fluxo molar por massa por mol obtém-se fluxo de massa. A segunda vem de massa = massa molar × quantidade de mols. A terceira é a definição de fração mássica.
Passo 3
Multiplico a equação de Fick dada por
para passar ao fluxo mássico de
:
Pelo que defini acima,
. Assim:
Agora vou tratar separadamente os dois termos do lado direito para escrevê-los em forma mássica.
Passo 4
Transformando o termo difusivo em função de
. Começo calculando
a partir de
:
Rearranjando:
Aqui aparece
. Para que o termo
seja exatamente
(o que nos permitirá obter o termo
desejado) precisamos desprezar
. A suposição física que faz isso é assumir que a concentração molar total
é espacialmente uniforme (ou seja
). Isso é razoável em muitas aplicações práticas quando a mistura é isoterma, isobárica e praticamente incompressível (por exemplo líquidos) ou quando se trabalha na aproximação de pequena variação de pressão/temperatura. Então, sob a hipótese
temos
logo o termo difusivo vira
(Observe que aqui mantivemos
inalterado — isto exige que usamos a mesma constante de difusão na forma molar e na forma mássica; normalmente assume-se
independente de
e que sua unidade/valor é apropriado para a transformação feita.)
Passo 5
Transformando o termo convectivo em função de fluxos mássicos. O termo convectivo atual é
onde
é o fluxo molar total. Para ligar
ao fluxo mássico total
usamos a relação entre massa total e mols totais:
(e
é a massa molar média). Se assumirmos que as velocidades médias molares e mássicas coincidem de modo que
então
. Nota sobre essa suposição: significa escolher um referencial em que a velocidade média molar coincide com a velocidade média mássica, ou equivalentemente desprezar diferenças de transporte total entre as médias; é uma suposição habitual para converter formas molar↔mássica em tratamentos simples de difusão quando não se deseja introduzir termos adicionais de transporte convectivo relativo. Substituindo:
Agora uso que
e
para reescrever o fator:
Portanto
Assim o termo convectivo transforma-se exatamente na forma mássica desejada, sob a suposição indicada (
).
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores: do Passo 3 tínhamos
Com a suposição
o primeiro termo passou a
(Passo 4). Com a suposição
o segundo termo passou a
(Passo 5). Assim obtemos
Passo 7
Resumo claro das suposições necessárias (para você poder justificar rapidamente na prova):
-
: concentração molar total espacialmente constante (isoterma/isobárica e incompressível, ou pequena variação de pressão); isso permitiu substituir por . -
: relação simples entre fluxo mássico total e fluxo molar total (equivalente a assumir que a velocidade média molar coincide com a velocidade média mássica, ou que se trabalha num referencial em que essas médias coincidem); isso permitiu transformar em . -
considerado constante e independente da transformação (mesmo valor na forma molar e mássica dentro das hipóteses acima).
Se alguma dessas hipóteses não for aceitável em um problema concreto (por exemplo variação significativa de
ou necessidade de distinguir velocidades de referência), a transformação exige termos adicionais e a expressão final muda.