Starting with the Fick’s equation for the diffusion of A through a binary mixture of components A and B
\mathbf{N}_{A}=-c D_{A B} \nabla y_{A}+y_{A}\left(\mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B}\right)
derive the following relations, stating the assumptions made in the derivations:
\mathbf{n}_{A}=-D_{A B} \boldsymbol{\nabla} \rho_{A}+w_{A}\left(\mathbf{n}_{A}+\mathbf{n}_{B}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de Fick para o fluxo molar de A numa mistura binária A- B:
\mathbf{N}_{A}=-c D_{A B} \nabla y_{A}+y_{A}\left(\mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B}\right).
Pede-se derivar a forma análoga em termos de fluxos mássicos,
\mathbf{n}_{A}=-D_{A B} \boldsymbol{\nabla} \rho_{A}+w_{A}\left(\mathbf{n}_{A}+\mathbf{n}_{B}\right),
indicando claramente as suposições usadas. Aqui precisam ficar explícitos quais quantidades foram dadas e quais são as incógnitas: a equação inicial está em termos de fluxos molares \mathbf{N}_i, concentração molar total c e fração molar y_A; queremos a equação em termos de fluxos mássicos \mathbf{n}_i, densidade parcial \rho_A e fração mássica w_A.

Passo 2

Definições e relações básicas — vou explicar cada símbolo e relação, porque é essencial para transformar de molar para mássico:
\begin{aligned} &\mathbf{N}_i &&\text{fluxo molar do componente }i\quad(\text{mol}\,\text{m}^{-2}\text{s}^{-1}),\\\ &\mathbf{n}_i &&\text{fluxo mássico do componente }i\quad(\text{kg}\,\text{m}^{-2}\text{s}^{-1}),\\\ &M_i &&\text{massa molar do componente }i\quad(\text{kg}\,\text{mol}^{-1}),\\\ &c_i &&\text{concentração molar do componente }i\;(\text{mol}\,\text{m}^{-3}),\\\ &c &&\text{concentração molar total }=\sum_i c_i,\\\ &y_i &&\text{fração molar }=\dfrac{c_i}{c},\\\ &\rho_i &&\text{densidade parcial }=\;M_i c_i\;(\text{kg}\,\text{m}^{-3}),\\\ &\rho &&\text{densidade total }=\sum_i \rho_i,\\\ &w_i &&\text{fração mássica }=\dfrac{\rho_i}{\rho}. \end{aligned}áçãçãçãçãá
Relações úteis imediatas (explico por que valem):
\mathbf{n}_i = M_i \mathbf{N}_i, \qquad \rho_i = M_i c_i = M_i c y_i, \qquad w_i = \frac{\rho_i}{\rho}.
A primeira é óbvia: multiplicando fluxo molar por massa por mol obtém-se fluxo de massa. A segunda vem de massa = massa molar × quantidade de mols. A terceira é a definição de fração mássica.

Passo 3

Multiplico a equação de Fick dada por M_A para passar ao fluxo mássico de A:
M_A\mathbf{N}_{A} = -M_A c D_{AB}\nabla y_A + M_A y_A\left(\mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B}\right).
Pelo que defini acima, M_A\mathbf{N}_A=\mathbf{n}_A. Assim:
\mathbf{n}_{A} = -M_A c D_{AB}\nabla y_A + M_A y_A\left(\mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B}\right).
Agora vou tratar separadamente os dois termos do lado direito para escrevê-los em forma mássica.

Passo 4

Transformando o termo difusivo em função de \nabla \rho_A. Começo calculando \nabla \rho_A a partir de \rho_A=M_A c y_A:
\nabla \rho_A = \nabla(M_A c y_A) = M_A\bigl(y_A\nabla c + c\nabla y_A\bigr).
Rearranjando:
M_A c \nabla y_A = \nabla \rho_A - M_A y_A \nabla c.
Aqui aparece \nabla c. Para que o termo M_A c \nabla y_A seja exatamente \nabla\rho_A (o que nos permitirá obter o termo -D_{AB}\nabla\rho_A desejado) precisamos desprezar M_A y_A \nabla c. A suposição física que faz isso é assumir que a concentração molar total c é espacialmente uniforme (ou seja \nabla c=0). Isso é razoável em muitas aplicações práticas quando a mistura é isoterma, isobárica e praticamente incompressível (por exemplo líquidos) ou quando se trabalha na aproximação de pequena variação de pressão/temperatura. Então, sob a hipótese
\nabla c = 0,
temos
M_A c \nabla y_A = \nabla \rho_A,
logo o termo difusivo vira
- M_A c D_{AB}\nabla y_A = -D_{AB}\nabla \rho_A.
(Observe que aqui mantivemos D_{AB} inalterado — isto exige que usamos a mesma constante de difusão na forma molar e na forma mássica; normalmente assume-se D_{AB} independente de y e que sua unidade/valor é apropriado para a transformação feita.)

Passo 5

Transformando o termo convectivo em função de fluxos mássicos. O termo convectivo atual é
M_A y_A\left(\mathbf{N}_A+\mathbf{N}_B\right)=M_A y_A\,\mathbf{N},
onde \mathbf{N}=\mathbf{N}_A+\mathbf{N}_B é o fluxo molar total. Para ligar \mathbf{N} ao fluxo mássico total \mathbf{n}=\mathbf{n}_A+\mathbf{n}_B usamos a relação entre massa total e mols totais:
\rho = c\bar{M}\quad\text{com}\quad \bar{M}=\sum_i y_i M_i
(e \bar{M} é a massa molar média). Se assumirmos que as velocidades médias molares e mássicas coincidem de modo que
\mathbf{n}=\rho\,\mathbf{v}_{\text{média}} = \bar{M}\,\mathbf{N},é
então \mathbf{N}=\mathbf{n}/\bar{M}. Nota sobre essa suposição: significa escolher um referencial em que a velocidade média molar coincide com a velocidade média mássica, ou equivalentemente desprezar diferenças de transporte total entre as médias; é uma suposição habitual para converter formas molar↔mássica em tratamentos simples de difusão quando não se deseja introduzir termos adicionais de transporte convectivo relativo. Substituindo:
M_A y_A\,\mathbf{N} = M_A y_A \frac{\mathbf{n}}{\bar{M}}.
Agora uso que \rho_A=M_A c y_A e \rho=c\bar{M} para reescrever o fator:
\frac{M_A y_A}{\bar{M}} = \frac{M_A c y_A}{c\bar{M}} = \frac{\rho_A}{\rho} = w_A.
Portanto
M_A y_A\,\mathbf{N} = w_A\,\mathbf{n} = w_A\left(\mathbf{n}_A+\mathbf{n}_B\right).
Assim o termo convectivo transforma-se exatamente na forma mássica desejada, sob a suposição indicada ( \mathbf{n}=\bar{M}\mathbf{N}).

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores: do Passo 3 tínhamos
\mathbf{n}_{A} = -M_A c D_{AB}\nabla y_A + M_A y_A\,\mathbf{N}.
Com a suposição \nabla c=0 o primeiro termo passou a -D_{AB}\nabla \rho_A (Passo 4). Com a suposição \mathbf{n}=\bar{M}\mathbf{N} o segundo termo passou a w_A(\mathbf{n}_A+\mathbf{n}_B) (Passo 5). Assim obtemos
\mathbf{n}_{A} = -D_{AB}\nabla \rho_A + w_A\left(\mathbf{n}_A+\mathbf{n}_B\right).

Passo 7

Resumo claro das suposições necessárias (para você poder justificar rapidamente na prova):
  1. \nabla c = 0: concentração molar total c espacialmente constante (isoterma/isobárica e incompressível, ou pequena variação de pressão); isso permitiu substituir M_A c\nabla y_A por \nabla\rho_A.
  2. \mathbf{n}=\bar{M}\mathbf{N}: relação simples entre fluxo mássico total e fluxo molar total (equivalente a assumir que a velocidade média molar coincide com a velocidade média mássica, ou que se trabalha num referencial em que essas médias coincidem); isso permitiu transformar M_A y_A\mathbf{N} em w_A(\mathbf{n}_A+\mathbf{n}_B).
  3. D_{AB} considerado constante e independente da transformação (mesmo valor na forma molar e mássica dentro das hipóteses acima).
Se alguma dessas hipóteses não for aceitável em um problema concreto (por exemplo variação significativa de c ou necessidade de distinguir velocidades de referência), a transformação exige termos adicionais e a expressão final muda.

Resposta

\mathbf{n}_{A}=-D_{A B} \boldsymbol{\nabla} \rho_{A}+w_{A}\left(\mathbf{n}_{A}+\mathbf{n}_{B}\right)

Exercícios relacionados