Determine o tipo de cônica representada pela equação x^{2}+y^{2}-4 x+6 y+9=0 e reduza-a à sua forma canônica.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}-4x+6y+9=0
As perguntas são:
  • Determinar o tipo de cônica representada por essa equação.
  • Reduzir a equação à sua forma canônica (ou seja, escrever na forma padrão da cônica encontrada).
Informações úteis extraídas da equação (coeficientes):
  • Coeficientes quadráticos: A=1 (do x^{2}), B=0 (do xy), C=1 (do y^{2}).
  • Coeficientes lineares: D=-4 (do x), E=6 (do y).
  • Termo constante: F=9.

Passo 2

Classificação rápida pela forma geral das cônicas.
Para uma cônica geral escrita como
A x^{2}+B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0,
um critério usual é o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC.
  • Se \Delta<0 a cônica é elíptica (elipse ou círculo), desde que não seja degenerada.
  • Se \Delta=0 é parábola.
  • Se \Delta>0 é hipérbole.
No nosso caso:
\Delta = 0^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = -4 < 0.
Portanto a cônica é do tipo elíptico. Além disso, como A=C e B=0 (isto é, os coeficientes de x^{2} e y^{2} são iguais e não há termo xy), trata-se de uma circunferência (ou possivelmente uma circunferência degenerada se o raio fosse nulo ou imaginário). Vamos reduzir a equação para confirmar e encontrar o centro e o raio.

Passo 3

Técnica que vamos usar: completar quadrados.
Regra prática: para completar o quadrado em um termo como x^{2}+b x usa-se
x^{2}+b x = \bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Isto transforma um polinômio quadrático em um quadrado perfeito menos uma constante, o que facilita identificar centros e raios.
Exemplo rápido (apenas para treinar): x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9 porque aqui b=-6 e \tfrac{b}{2}=-3.

Passo 4

Aplicando completar quadrados aos termos em x e em y da equação dada.
Separe os termos:
x^{2}-4x \quad\text{e}\quad y^{2}+6y.
Complete o quadrado em x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4,
pois aqui \tfrac{-4}{2}=-2 e (-2)^{2}=4.
Complete o quadrado em y:
y^{2}+6y = (y+3)^{2}-9,
pois \tfrac{6}{2}=3 e 3^{2}=9.
Substitua essas expressões na equação original:
\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) + \bigl((y+3)^{2}-9\bigr) + 9 = 0.
Agora simplifique os termos constantes:
(x-2)^{2} -4 + (y+3)^{2} -9 + 9 = 0
(x-2)^{2} + (y+3)^{2} -4 = 0.
Isole os quadrados:
(x-2)^{2} + (y+3)^{2} = 4.

Passo 5

Interpretação da forma canônica obtida.
A forma
(x-2)^{2} + (y+3)^{2} = 4
é exatamente a equação padrão de uma circunferência com:
  • centro em (2,-3) (porque aparecem (x-2) e (y-(-3))=(y+3));
  • raio r=\sqrt{4}=2.
Verificação de não degenerescência: o raio é positivo ( 2), então não é degenerate; é uma circunferência real.

Passo 6

Resumo final e motivação para a prova: o passo-chave em problemas assim é completar quadrados para isolar os termos em x e y e reconhecer a forma padrão. Também é útil checar rapidamente A,C,B para identificar se pode ser uma circunferência sem fazer toda a redução.

Resposta

Tipo: circunferência de centro (2,-3) e raio 2.
Forma canônica: (x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4.

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