Determine o tipo de cônica representada pela equação
e reduza-a à sua forma canônica.
Passo 1
O enunciado dá a equação
As perguntas são:
- Determinar o tipo de cônica representada por essa equação.
- Reduzir a equação à sua forma canônica (ou seja, escrever na forma padrão da cônica encontrada).
Informações úteis extraídas da equação (coeficientes):
- Coeficientes quadráticos:
(do ), (do ), (do ). - Coeficientes lineares:
(do ), (do ). - Termo constante:
.
Passo 2
Classificação rápida pela forma geral das cônicas.
Para uma cônica geral escrita como
um critério usual é o discriminante
- Se
a cônica é elíptica (elipse ou círculo), desde que não seja degenerada. - Se
é parábola. - Se
é hipérbole.
No nosso caso:
Portanto a cônica é do tipo elíptico. Além disso, como
e
(isto é, os coeficientes de
e
são iguais e não há termo
), trata-se de uma circunferência (ou possivelmente uma circunferência degenerada se o raio fosse nulo ou imaginário). Vamos reduzir a equação para confirmar e encontrar o centro e o raio.
Passo 3
Técnica que vamos usar: completar quadrados.
Regra prática: para completar o quadrado em um termo como
usa-se
Isto transforma um polinômio quadrático em um quadrado perfeito menos uma constante, o que facilita identificar centros e raios.
Exemplo rápido (apenas para treinar):
porque aqui
e
.
Passo 4
Aplicando completar quadrados aos termos em
e em
da equação dada.
Separe os termos:
Complete o quadrado em
:
pois aqui
e
.
Complete o quadrado em
:
pois
e
.
Substitua essas expressões na equação original:
Agora simplifique os termos constantes:
Isole os quadrados:
Passo 5
Interpretação da forma canônica obtida.
A forma
é exatamente a equação padrão de uma circunferência com:
- centro em
(porque aparecem e ); - raio
.
Verificação de não degenerescência: o raio é positivo (
), então não é degenerate; é uma circunferência real.
Passo 6
Resumo final e motivação para a prova: o passo-chave em problemas assim é completar quadrados para isolar os termos em
e
e reconhecer a forma padrão. Também é útil checar rapidamente
para identificar se pode ser uma circunferência sem fazer toda a redução.
Resposta
Tipo: circunferência de centro
e raio
.
Forma canônica: .
Forma canônica: