Resolva os sistemas usando o método da Pivotação Completa e o método de Jordan. \left\{\begin{array}{l}4 x+y+z+w=7 \\\\ 2 x-8 y+z-w=-6 \\\ x+2 y-5 z+w=-1 \\\ x+y+z-4 w=-1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas e pede que ele seja resolvido por dois métodos: pivotação completa e método de Jordan. O sistema é
Pedidos: (i) resolver por pivotação completa; (ii) resolver por método de Jordan (Gauss–Jordan).
Nada mais será assumido. A partir do Passo 2 começo a resolver pelo primeiro método.]
Passo 2
Breve explicação do método de pivotação completa (para lembrar na prova):
O objetivo é triangularizar a matriz por eliminação de Gauss, escolhendo em cada etapa, como pivô, o elemento de maior valor absoluto presente na submatriz ainda não eliminada.
Quando o pivô está em uma posição que não é a linha/coluna atual, faz-se a troca de linhas e/ou colunas necessárias. Trocar colunas equivale a trocar a ordem das incógnitas: é obrigatório registrar essa permutação para recuperar as incógnitas na ordem original ao final.
A operação elementar usada para zerar abaixo do pivô é R_i \leftarrow R_i - \dfrac{a_{i,k}}{a_{k,k}}R_k, onde a_{k,k} é o pivô atual.
Agora montamos a matriz aumentada inicial (repito para poder operar):
Procurar o maior elemento em valor absoluto na matriz de coeficientes inteira: o maior é |-8|=8 (posição linha 2, coluna 2).
Queremos colocá-lo como pivô na posição (1,1). Para isso:
trocamos a linha 1 com a linha 2;
trocamos a coluna 1 com a coluna 2 (isto troca as incógnitas x e y).
Após as trocas, a ordem das incógnitas passa a ser (y,x,z,w) e a matriz aumentada fica
Procuramos o maior elemento em valor absoluto na submatriz (linhas 2–4, colunas 2–4). Os candidatos numéricos são \tfrac{17}{4}\approx4{,}25, |-\tfrac{19}{4}|\approx4{,}75, |-\tfrac{33}{8}|\approx4{,}125. O maior é |-\tfrac{19}{4}|=\tfrac{19}{4} localizado na linha 3, coluna 3 (da matriz atual).
Para colocá-lo como pivô na posição (2,2) trocamos a linha 2 com a linha 3 e a coluna 2 com a coluna 3. Troca de colunas altera novamente a ordem das incógnitas: de (y,x,z,w) passa para (y,z,x,w). Após as trocas a matriz fica
mas atenção: aqui já executei a troca de linhas e colunas e reorganizei para mostrar a submatriz; o importante é que o pivô na posição (2,2) é agora -\tfrac{19}{4}.
Agora zeramos abaixo do pivô da segunda coluna:
Para R_3: o elemento na coluna 2 é a_{32}=\tfrac{9}{8} (após as trocas); o fator éf=\dfrac{a_{32}}{a_{22}}=\dfrac{\tfrac{9}{8}}{-\tfrac{19}{4}}=-\dfrac{9}{38}.Atualizando R_3 \leftarrow R_3 - f R_2 = R_3 + \dfrac{9}{38}R_2 resulta emR_3 = \bigl[0,\;0,\; \tfrac{175}{38},\; \tfrac{20}{19}\;\vline\; \tfrac{215}{38}\bigr].
Para R_4: o mesmo valor na coluna 2 (era também \tfrac{9}{8}), então o fator é igual e obtemosR_4 = \bigl[0,\;0,\; \tfrac{61}{38},\; -\tfrac{75}{19}\;\vline\; -\tfrac{89}{38}\bigr].
Após essas operações a matriz aumentada triangular superior (até a terceira coluna) é
Na submatriz restante os elementos são \tfrac{175}{38}, \tfrac{20}{19}, \tfrac{61}{38}, -\tfrac{75}{19}. O maior em valor absoluto é \tfrac{175}{38} e já está na posição (3,3), portanto não há trocas de linha/coluna. O pivô é a_{33}=\tfrac{175}{38}.
Zeramos abaixo: para R_4 o fator éf=\dfrac{a_{43}}{a_{33}}=\dfrac{\tfrac{61}{38}}{\tfrac{175}{38}}=\dfrac{61}{175}.Atualizando R_4 \leftarrow R_4 - f R_3 obtemosR_4 = \bigl[0,\;0,\;0,\; -\tfrac{2869}{665}\;\vline\; -\tfrac{2869}{665}\bigr].
Agora a matriz está triangular superior; escrevendo as equações correspondentes (lembrando que a ordem atual das incógnitas é (y,z,x,w)):
Linha 4: \displaystyle -\frac{2869}{665}\,w = -\frac{2869}{665}.
Linha 3: \displaystyle \frac{175}{38}\,x + \frac{20}{19}\,w = \frac{215}{38}.
Linha 2: \displaystyle -\frac{19}{4}\,z + \frac{3}{2}\,x + \frac{3}{4}\,w = -\frac{5}{2}.
Linha 1: \displaystyle -8\,y + 1\cdot z + 2\cdot x - 1\cdot w = -6.
Passo 6
Retrossubstituição e recuperação das incógnitas na ordem original:
Da linha 4: -\dfrac{2869}{665} w = -\dfrac{2869}{665} implica w=1. (Quando o mesmo número aparece à esquerda e à direita, o quociente é 1.)
Da linha 3: \dfrac{175}{38}x + \dfrac{20}{19}w = \dfrac{215}{38}. Substituindo w=1,\dfrac{175}{38}x + \dfrac{40}{38} = \dfrac{215}{38}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{175}{38}x = \dfrac{175}{38}então x=1.
Da linha 1 (lembrando que a linha 1 corresponde a y na ordem atual): -8y + z + 2x - w = -6. Substituindo x=z=w=1,-8y + 1 + 2 -1 = -6 \quad\Rightarrow\quad -8y +2 = -6 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Agora resta só reconverter para a ordem original das incógnitas. Lembrete: durante a pivotação completa trocamos colunas duas vezes e terminamos com a ordem (y,z,x,w). Recuperando a ordem original (x,y,z,w) obtemosx=1,\quad y=1,\quad z=1,\quad w=1.
Resumo do que aprendeu sobre pivotação completa (dica de prova): registre sempre a permutação de colunas (ordem das incógnitas), escolha sempre o maior elemento absoluto como pivô para reduzir erros numéricos, e faça as trocas de coluna com cuidado para voltar à ordem original no final.
Passo 7
Explicação do método de Jordan (Gauss–Jordan) e aplicação passo a passo:
Objetivo do Gauss–Jordan: transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas (RREF), ou seja, obter a matriz identidade na parte dos coeficientes, de modo que a coluna de termos independentes já contenha diretamente as soluções. Para isso:
Fazer um pivô igual a 1 (dividindo a linha do pivô por seu valor).
Usar esse pivô para zerar tanto abaixo quanto acima na mesma coluna (não apenas abaixo, como em Gauss simples).
Repetir para as colunas seguintes até a identidade.
Agora aplico ao sistema original (mantendo a ordem das incógnitas (x,y,z,w)):
Tornar o pivô da linha 1 igual a 1: R_1 \leftarrow \tfrac{1}{4}R_1:R_1 = \bigl[1,\; \tfrac{1}{4},\; \tfrac{1}{4},\; \tfrac{1}{4}\;\vline\; \tfrac{7}{4}\bigr].
Anular a primeira coluna nas linhas 2,3,4 usando R_i \leftarrow R_i - a_{i1}R_1:R_2 = \bigl[0,\; -\tfrac{17}{2},\; \tfrac{1}{2},\; -\tfrac{3}{2}\;\vline\; -\tfrac{19}{2}\bigr],
Tornar o pivô da linha 2 igual a 1 dividindo por -\tfrac{17}{2}: R_2 \leftarrow -\tfrac{2}{17}R_2, obtendoR_2 = \bigl[0,\;1,\; -\tfrac{1}{17},\; \tfrac{3}{17}\;\vline\; \tfrac{19}{17}\bigr].
Usar R_2 para zerar a coluna 2 em R_3 e R_4 (fazendo R_i \leftarrow R_i - a_{i2}R_2):R_3 = \bigl[0,\;0,\; -\tfrac{175}{34},\; \tfrac{15}{34}\;\vline\; -\tfrac{160}{34}\bigr],
(os cálculos mostram a eliminação dos termos na coluna 2).
5. Tornar o pivô da linha 3 igual a 1 dividindo R_3 por -\tfrac{175}{34}: R_3 \leftarrow -\tfrac{34}{175}R_3, obtendo
Usar R_3 para zerar a coluna 3 em R_4, R_2 e R_1. Depois disso, ajustar R_4 para pivotar a coluna 4:
Ao eliminar em R_4 obtemos, como antes, uma linha do tipoR_4 = \bigl[0,\;0,\;0,\; -\tfrac{2567}{595}\;\vline\; -\tfrac{2567}{595}\bigr],que implica w=1 após dividir por pivot.
Dividindo R_4 por -\tfrac{2567}{595} obtemos R_4=[0,0,0,1\mid 1]. Então usamos R_4 para zerar a coluna 4 nas linhas acima (R_1,R_2,R_3):
Após essas eliminações e normalizações sucessivas encontra-seR_3 = [0,0,1,0\mid 1],\quad R_2=[0,1,0,0\mid 1],\quad R_1=[1,0,0,0\mid 1].
Conclusão pelo Gauss–Jordan: a matriz ficou na forma identidade e o vetor de termos independentes é (1,1,1,1)^T. Logox=1,\quad y=1,\quad z=1,\quad w=1.
Observação didática (dicas finais): no Gauss–Jordan costuma-se sempre escalar a linha do pivô para 1 antes de eliminar linhas acima/abaixo; sempre fazer operações racionais exatas (frações) quando possível para evitar erro de arredondamento em prova sem calculadora.]