Determine todas as funções f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} tais que:
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=9 x^{2} y^{2}-10 x, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=6 x^{3} y+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as funções f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tais que, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=9x^{2}y^{2}-10x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6x^{3}y+1.
Informações relevantes dadas:
  • A derivada parcial de f em relação a x é \;9x^{2}y^{2}-10x\;.
  • A derivada parcial de f em relação a y é \;6x^{3}y+1\;.
    O objetivo é encontrar a forma geral de f(x,y) que tenha essas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro é prudente verificar compatibilidade entre as derivadas parciais (condição necessária para existir f com essas parciais): calcular as derivadas mistas e ver se coincidem. Isso garante que a família potencial de primitivadas parciais é consistente.
Calcular a derivada de \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(9x^{2}y^{2}-10x\right) =9x^{2}\cdot 2y =18x^{2}y.
Calcular a derivada de \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(6x^{3}y+1\right) =6\cdot 3x^{2}y =18x^{2}y.
Como as derivadas mistas coincidem ( 18x^{2}y em ambos os casos), as informações são compatíveis e existe uma função f (localmente, e aqui globalmente) com essas derivadas parciais.

Passo 3

Agora integro a derivada parcial em relação a x para obter f mais uma “constante” de integração que pode depender de y. Lembre-se: ao integrar uma função de (x,y) em relação a x, a constante de integração pode ser uma função de y.
Integrando
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=9x^{2}y^{2}-10x
em relação a x:
f(x,y)=\int \left(9x^{2}y^{2}-10x\right)\,dx.
Calcule termo a termo:
\int 9x^{2}y^{2}\,dx = 9y^{2}\int x^{2}\,dx = 9y^{2}\cdot \frac{x^{3}}{3}=3x^{3}y^{2},
\int -10x\,dx = -10\cdot\frac{x^{2}}{2}=-5x^{2}.
Portanto, após integrar,
f(x,y)=3x^{3}y^{2}-5x^{2}+g(y),
onde g(y) é alguma função arbitrária de y (a “constante” de integração).

Passo 4

Determinar g(y) impondo que \dfrac{\partial f}{\partial y} coincida com a dada. Calcule a derivada parcial em relação a y da expressão encontrada:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(3x^{3}y^{2}-5x^{2}+g(y)\right) =3x^{3}\cdot 2y + g'(y) =6x^{3}y + g'(y).
Pelo enunciado essa derivada deve ser 6x^{3}y+1. Logo
6x^{3}y + g'(y) = 6x^{3}y + 1.
Subtraindo 6x^{3}y dos dois lados obtemos
g'(y)=1.

Passo 5

Integrar g'(y)=1 em relação a y:
g(y)=\int 1\,dy = y + C,
onde C é uma constante real.
Portanto a função g é g(y)=y+C.

Passo 6

Substituindo g(y) em f(x,y), obtemos
f(x,y)=3x^{3}y^{2}-5x^{2}+y+C,
com C\in\mathbb{R}.
Para ficar 100% seguro, verifico rapidamente as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=9x^{2}y^{2}-10x\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=6x^{3}y+1,
coincidindo exatamente com as dadas no enunciado. Tudo certo.

Resposta

f(x,y)=3x^{3}y^{2}-5x^{2}+y+C,\qquad C\in\mathbb{R}

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