Determine todas as funções
tais que:
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as funções
tais que, para todo
,
Informações relevantes dadas:
- A derivada parcial de
em relação a é . - A derivada parcial de
em relação a é .
O objetivo é encontrar a forma geral deque tenha essas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro é prudente verificar compatibilidade entre as derivadas parciais (condição necessária para existir
com essas parciais): calcular as derivadas mistas e ver se coincidem. Isso garante que a família potencial de primitivadas parciais é consistente.
Calcular a derivada de
em relação a
:
Calcular a derivada de
em relação a
:
Como as derivadas mistas coincidem (
em ambos os casos), as informações são compatíveis e existe uma função
(localmente, e aqui globalmente) com essas derivadas parciais.
Passo 3
Agora integro a derivada parcial em relação a
para obter
mais uma “constante” de integração que pode depender de
. Lembre-se: ao integrar uma função de
em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Integrando
em relação a
:
Calcule termo a termo:
Portanto, após integrar,
onde
é alguma função arbitrária de
(a “constante” de integração).
Passo 4
Determinar
impondo que
coincida com a dada. Calcule a derivada parcial em relação a
da expressão encontrada:
Pelo enunciado essa derivada deve ser
. Logo
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Passo 5
Integrar
em relação a
:
onde
é uma constante real.
Portanto a função
é
.
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos
com
.
Para ficar 100% seguro, verifico rapidamente as derivadas parciais:
coincidindo exatamente com as dadas no enunciado. Tudo certo.