Admita que para todo
vale a relação:
Mostre que
é constante ao longo da elipse
Passo 1
O enunciado fornece a relação válida para todo
:
Pede-se mostrar que
é constante ao longo da elipse
Lista clara do que foi dado e do que é pedido:
- Dado: a identidade diferencial
válida em todo o plano. - Dado: a curva (elipse)
. - Pedido: provar que, ao percorrer a elipse, o valor de
não varia (isto é, é constante sobre essa curva).
Passo 2
Vou parametrizar a elipse de forma simples e conhecida. Uma parametrização que percorre a elipse
é
Explicação: se
e
então
ou seja, a parametrização realmente produz pontos da elipse; variando
de
a
a elipse é percorrida completamente.
Passo 3
Aplicarei a regra da cadeia para a função composta
A regra da cadeia (versão para funções de duas variáveis) diz que, se
e
são diferenciáveis e
tem derivadas parciais, então
Aqui
e
significam
e
, e
são as derivadas das componentes da parametrização.
Passo 4
Calculo explicitamente
e
:
Substituindo na fórmula da regra da cadeia obtém-se
Ou seja,
Passo 5
Agora uso a relação dada no enunciado, substituindo
e
na identidade diferencial:
torna-se, para esses pontos,
Dividindo ambos os lados por
dá
Reescrevendo,
Passo 6
Comparando a expressão obtida aqui com a expressão para
do Passo 4, vemos que são exatamente iguais. Portanto
Isto significa que a função
tem derivada zero em todos os pontos, logo é constante em cada componente conectada do seu domínio. Como o intervalo
é conexo por arcos e parametriza a elipse, concluímos que
tem valor constante ao longo da elipse.
Passo 7
Comentário final e fechamento do raciocínio: a conclusão decorre diretamente da regra da cadeia e da identidade dada. A identidade diz que a derivada de
na direção tangente à elipse é zero (isto foi mostrado ao substituir a parametrização). Derivada direcional nula ao longo de toda a curva implica que o valor de
não muda quando se anda ao longo da elipse; portanto
é constante sobre a elipse
.