Admita que para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2} vale a relação:
4 y \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)-x \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=0
Mostre que f é constante ao longo da elipse
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado fornece a relação válida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2:
4y\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-x\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.
Pede-se mostrar que f é constante ao longo da elipse
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.
Lista clara do que foi dado e do que é pedido:
  • Dado: a identidade diferencial \,4y\,f_x(x,y)-x\,f_y(x,y)=0 válida em todo o plano.
  • Dado: a curva (elipse) \,x^{2}/4+y^{2}=1.
  • Pedido: provar que, ao percorrer a elipse, o valor de f não varia (isto é, f é constante sobre essa curva).

Passo 2

Vou parametrizar a elipse de forma simples e conhecida. Uma parametrização que percorre a elipse \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 é
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação: se x=2\cos t e y=\sin t então
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=\frac{(2\cos t)^{2}}{4}+(\sin t)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
ou seja, a parametrização realmente produz pontos da elipse; variando t de 0 a 2\pi a elipse é percorrida completamente.

Passo 3

Aplicarei a regra da cadeia para a função composta
F(t):=f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=f\bigl(2\cos t,\sin t\bigr).
A regra da cadeia (versão para funções de duas variáveis) diz que, se x(t) e y(t) são diferenciáveis e f tem derivadas parciais, então
F'(t)=\frac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=f_x\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)+f_y\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
Aqui f_x e f_y significam \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}, e x'(t),y'(t) são as derivadas das componentes da parametrização.

Passo 4

Calculo explicitamente x'(t) e y'(t):
x'(t)=-2\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Substituindo na fórmula da regra da cadeia obtém-se
F'(t)=f_x\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)\,(-2\sin t)+f_y\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)\,(\cos t).
Ou seja,
F'(t)=-2\sin t\;f_x\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)+\cos t\;f_y\bigl(2\cos t,\sin t\bigr).

Passo 5

Agora uso a relação dada no enunciado, substituindo x=2\cos t e y=\sin t na identidade diferencial:
4y\,f_x(x,y)-x\,f_y(x,y)=0
torna-se, para esses pontos,
4\sin t\;f_x\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)-2\cos t\;f_y\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)=0.
Dividindo ambos os lados por 2
2\sin t\;f_x\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)-\cos t\;f_y\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)=0.
Reescrevendo,
-2\sin t\;f_x\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)+\cos t\;f_y\bigl(2\cos t,\sin t\bigr)=0.

Passo 6

Comparando a expressão obtida aqui com a expressão para F'(t) do Passo 4, vemos que são exatamente iguais. Portanto
F'(t)=0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Isto significa que a função t\mapsto f(2\cos t,\sin t) tem derivada zero em todos os pontos, logo é constante em cada componente conectada do seu domínio. Como o intervalo [0,2\pi] é conexo por arcos e parametriza a elipse, concluímos que f tem valor constante ao longo da elipse.

Passo 7

Comentário final e fechamento do raciocínio: a conclusão decorre diretamente da regra da cadeia e da identidade dada. A identidade diz que a derivada de f na direção tangente à elipse é zero (isto foi mostrado ao substituir a parametrização). Derivada direcional nula ao longo de toda a curva implica que o valor de f não muda quando se anda ao longo da elipse; portanto f é constante sobre a elipse \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.

Resposta

f é constante ao longo da elipse \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.

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