Determine todas as matrizes 2 \times 2 que comutam com A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede: “Determine todas as matrizes 2\times2 que comutam com
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Isto é, queremos todos os B\in M_{2}(\Bbb R) tais que AB=BA. Para resolver vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e igualar as entradas correspondentes de AB e BA.]

Passo 2

Seja uma matriz genérica
B = \begin{pmatrix}a & b\\[3pt]c & d\end{pmatrix}.
Vamos calcular AB e BA.
AB = \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[3pt]c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a + c & b + d\\[3pt]c & d\end{pmatrix},
BA = \begin{pmatrix}a & b\\[3pt]c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a + b\\[3pt]c & c + d\end{pmatrix}.]

Passo 3

Impor [AB = BA) equivale a igualar cada entrada:
\begin{cases} a + c = a,\\\ b + d = a + b,\\\ c = c,\\\ d = c + d. \end{cases}
Dessas equações obtemos
a + c = a \;\Rightarrow\; c = 0, \qquad b + d = a + b \;\Rightarrow\; d = a,
e as outras são triviais ou equivalentes a (c=0]. Logo
c = 0, \quad d = a.

Resposta

Todas as matrizes 2\times2 que comutam com A são
\begin{pmatrix}a & b\\[3pt]0 & a\end{pmatrix},
onde a,b\in\Bbb R.]

Exercícios relacionados