Determine todas as matrizes 2 \times 2 que comutam com A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes 2\times2 que comutam com
A = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&3\end{pmatrix}.
O conteúdo usado será resolver a equação de comutação
XA = AX
para uma matriz genérica X.

Passo 2

Seja
X = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
com a,b,c,d escalares desconhecidos. Vamos impor XA=AX.

Passo 3

Calculemos cada produto:
XA = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 3b \\\ c & 3d\end{pmatrix},
AX = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\\\ 3c & 3d\end{pmatrix}.

Passo 4

Igualando XA e AX, obtém-se o sistema de equações pelas entradas:
topo-direita: 3b = b,
baixo-esquerda: c = 3c,
as outras duas entradas são triviais (igualam-se automaticamente).

Passo 5

Da primeira equação vem
3b - b = 0 \;\Longrightarrow\; 2b=0 \;\Longrightarrow\; b=0,
e da segunda
c - 3c = 0 \;\Longrightarrow\; -2c=0 \;\Longrightarrow\; c=0.
Portanto, b=0 e c=0, enquanto a e d ficam livres.

Passo 6

Concluímos que toda matriz X que comuta com A é da forma
X = \begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & d\end{pmatrix},
com a,d quaisquer escalares.

Resposta

Todas as matrizes 2\times2 que comutam com A são as matrizes diagonais
\begin{pmatrix}a & 0 \\[6pt]0 & d\end{pmatrix},
onde a e d são escalares arbitrários.]

Exercícios relacionados