Determine todas as soluções da equação
\operatorname{sec} \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as soluções reais da equação \operatorname{sec}\bigl(2x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2.
Isso é um problema de trigonometria onde vamos usar a relação entre \operatorname{sec} e \cos e a solução geral de \cos\theta=a.

Passo 2

Lembrando que \operatorname{sec}\theta está definida sempre que \cos\theta\neq0.
Como nossa equação vai resultar em \cos(2x+\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12, não teremos pontos proibidos (já que \tfrac12\neq0).

Passo 3

Usamos \operatorname{sec}\alpha=1/\cos\alpha. Então
\frac{1}{\cos\bigl(2x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)}=2
implica
\cos\bigl(2x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12.

Passo 4

A solução geral de \cos\theta=\tfrac12 é
\theta = \pm \tfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui \theta=2x+\tfrac{\pi}{3}.

Passo 5

Substituindo \theta=2x+\tfrac{\pi}{3} nas duas possibilidades:
Caso 1:
2x+\tfrac{\pi}{3} = +\tfrac{\pi}{3} + 2k\pi \;\Longrightarrow\; 2x = 2k\pi \;\Longrightarrow\; x = k\pi.
Caso 2:
2x+\tfrac{\pi}{3} = -\tfrac{\pi}{3} + 2k\pi \;\Longrightarrow\; 2x = -\tfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac{\pi}{3} + k\pi.

Passo 6

Concluímos que todas as soluções são dadas pelas duas famílias
x = k\pi \quad\text{e}\quad x = k\pi - \tfrac{\pi}{3},
com k\in\mathbb{Z}.

Resposta

x = k\pi ou x = k\pi - \tfrac{\pi}{3}, com k\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados