Se x está no segundo quadrante e \operatorname{tg} x=-2 \sqrt{2}, calcule as demais funções de x.

Passo 1

O enunciado diz que x está no segundo quadrante e que \tan x = -2\sqrt{2}. Queremos encontrar as outras cinco funções trigonométricas de x. Vamos usar a definição de tangente, a relação de Pitágoras num triângulo retângulo e o sinal de cada função em cada quadrante.

Passo 2

Pela definição,
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -2\sqrt{2}.
No segundo quadrante, \sin x>0 e \cos x<0, de modo que o quociente fica negativo como dado. Podemos escolher, para montar o triângulo associado ao ângulo referência, os comprimentos dos catetos:
\text{cateto oposto} = 2\sqrt{2}, \quad \text{cateto adjacente} = -1.

Passo 3

Calculamos a hipotenusa pelo Teorema de Pitágoras:
\text{hipotenusa} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{8 + 1} = 3.

Passo 4

Agora obtemos o seno e o cosseno:
\sin x = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad \cos x = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} = -\frac{1}{3}.

Passo 5

As demais funções são recíprocas ou quocientes das anteriores:
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x} = -3, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\sin x = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cos x = -\frac{1}{3} \cot x = -\frac{\sqrt{2}}{4} \operatorname{sec} x = -3 \csc x = \frac{3\sqrt{2}}{4}

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