Determine todos os números complexos z tais que:
\exp (z)=1+i \sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado pede todos os z\in\mathbb{C} tais que
\exp(z)=1+i\sqrt{3}.
Para resolver, vamos usar a forma z=x+iy e a identidade
\exp(z)=e^{x+iy}=e^x\bigl(\cos y+i\sin y\bigr).

Passo 2

Escrevemos 1+i\sqrt{3} em forma polar. O módulo é
r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2,
e o argumento geral é
\theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\bigr)=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Logo,
1+i\sqrt{3}=2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3}+2\pi n)+i\sin(\tfrac{\pi}{3}+2\pi n)\bigr).

Passo 3

Comparando com \exp(x+iy)=e^x(\cos y+i\sin y), devemos ter
e^x=2 \quad\text{e}\quad y=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Da primeira igualdade vem
x=\ln2,
e da segunda
y=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Assim,
z=x+iy=\ln2+i\Bigl(\frac{\pi}{3}+2\pi k\Bigr).

Resposta

\boxed{\,z=\ln2+i\Bigl(\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\Bigr),\quad k\in\mathbb{Z}\,}.

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