1. (a) Mostre que, para todo complexo z \neq 1 e todo n \in \mathbb{N}, tem-se
1+z+z^{2}+\ldots+z^{n-1}=\frac{z^{n}-1}{z-1}
(b) Mostre que se \omega é uma raiz n-ésima da unidade diferente de 1 , então
1+\omega+\omega^{2}+\ldots+\omega^{n-1}=0
(c) Usando as soluções das n-ésimas raízes da unidade ou seja z^{n}=1. Se n=2,3, \ldots, prove que
\begin{aligned} & \cos \frac{2 \pi}{n}+\cos \frac{4 \pi}{n}+\cdots+\cos \frac{2(n-1) \pi}{n}=-1 \\\ & \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{n}+\operatorname{sen} \frac{4 \pi}{n}+\cdots+\operatorname{sen} \frac{2(n-1) \pi}{n}=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
– (a) provar a fórmula da soma de uma progressão geométrica de razão z\neq1.
– (b) usar essa fórmula quando z=\omega é uma raiz n-ésima da unidade diferente de 1 e concluir que a soma vale zero.
– (c) aplicar isso às soluções \omega=e^{2\pi i/n} para obter as somas das partes real e imaginária, ou seja das cossenos e senos equiespaçados.

Passo 2

Para (a), considere a soma
S = 1 + z + z^2 + \cdots + z^{n-1}.
Multiplique ambos os lados por (z-1):
(z-1)S = zS - S = (z + z^2 + \cdots + z^n) - (1 + z + \cdots + z^{n-1}) = z^n - 1.
Como z\neq1, divide-se por (z-1) e obtém-se
S = \frac{z^n - 1}{z - 1}.

Passo 3

Para (b), ponha z=\omega com \omega^n=1 e \omega\neq1. Da fórmula de (a) vem
1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = \frac{1 - 1}{\omega - 1} = 0.

Passo 4

Em (c), escolhemos a raiz primitiva
\omega = e^{2\pi i/n},
cujas potências \omega^k k=0,1,\dots,n-1 estão uniformemente espalhadas no círculo unitário. Já sabemos que
\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0.
Escrevendo cada \omega^k = \cos\!\bigl(2\pi k/n\bigr) + i\,\sin\!\bigl(2\pi k/n\bigr), a soma acima se divide em parte real e parte imaginária.

Passo 5

A parte real dá
\sum_{k=0}^{n-1}\cos\!\bigl(2\pi k/n\bigr) = 0.
Como \cos(0)=1, temos
1 + \sum_{k=1}^{n-1}\cos\!\bigl(2\pi k/n\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=1}^{n-1}\cos\!\bigl(2\pi k/n\bigr) = -1.

Passo 6

A parte imaginária dá
\sum_{k=0}^{n-1}\sin\!\bigl(2\pi k/n\bigr) = 0.
Mas \sin(0)=0, então
\sum_{k=1}^{n-1}\sin\!\bigl(2\pi k/n\bigr) = 0.

Resposta

(a) \displaystyle 1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}=\frac{z^n-1}{z-1}.
(b) \displaystyle 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0 se \omega^n=1 e \omega\neq1.
(c) \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi k}{n}\bigr)=-1,\quad \sum_{k=1}^{n-1}\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi k}{n}\bigr)=0.

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