- (a) Mostre que, para todo complexo
e todo
, tem-se
(b) Mostre que se
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1 , então
(c) Usando as soluções das
-ésimas raízes da unidade ou seja
. Se
, prove que
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
– (a) provar a fórmula da soma de uma progressão geométrica de razão .
– (b) usar essa fórmula quando é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1 e concluir que a soma vale zero.
– (c) aplicar isso às soluções para obter as somas das partes real e imaginária, ou seja das cossenos e senos equiespaçados.
– (a) provar a fórmula da soma de uma progressão geométrica de razão
– (b) usar essa fórmula quando
– (c) aplicar isso às soluções
Passo 2
Para (a), considere a soma
Multiplique ambos os lados por
:
Como
, divide-se por
e obtém-se
Passo 3
Para (b), ponha
com
e
. Da fórmula de (a) vem
Passo 4
Em (c), escolhemos a raiz primitiva
cujas potências
estão uniformemente espalhadas no círculo unitário. Já sabemos que
Escrevendo cada
, a soma acima se divide em parte real e parte imaginária.
Passo 5
A parte real dá
Como
, temos
Passo 6
A parte imaginária dá
Mas
, então
Resposta
(a)
(b) se
e
.
(c)
(b)
(c)