Determine todos os pontos críticos das funções abaixo e utilize o teste da segunda derivada para classificá-los em máximos, mínimos ou pontos de sela.
f(x, y)=x^{3}-12 x+y^{2}-4 y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x,y)=x^{3}-12x+y^{2}-4y:
  • Determinar todos os pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é zero ou não está definido).
  • Classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função está definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Vamos buscar pontos onde as derivadas parciais existem e o gradiente \nabla f=(f_x,f_y) é igual a zero.

Passo 2

Como encontrar pontos críticos (recap didático):
  • Um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras existem e
f_x(x_0,y_0)=0,\qquad f_y(x_0,y_0)=0.
  • Aqui as derivadas existem em toda parte, então basta resolver o sistema das equações acima.
Calcule as derivadas parciais primeiras passo a passo:
  • Derivada parcial em relação a x: a regra é derivar x^{3}-12x mantendo y como constante e derivar y^{2}-4y como zero (pois não depende de x). Então
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-12x\bigr)=3x^{2}-12.
  • Derivada parcial em relação a y: derivando y^{2}-4y e tratando x como constante,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}-4y\bigr)=2y-4.

Passo 3

Resolver o sistema f_x=0 e f_y=0.
Primeira equação:
3x^{2}-12=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}=12 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Segunda equação:
2y-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2y=4 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Combinação das soluções dá dois pontos críticos:
(x,y)=(2,2)\quad\text{e}\quad(x,y)=(-2,2).

Passo 4

Explicação didática do teste da segunda derivada para funções de duas variáveis:
  • Define-se as segundas derivadas parciais
f_{xx}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
  • Forma-se o determinante do Hessiano (discriminante) em um ponto (x_0,y_0):
D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\bigl(f_{xy}(x_0,y_0)\bigr)^{2}.
  • Interpretação:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 em (x_0,y_0), então f tem mínimo local aí.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 em (x_0,y_0), então f tem máximo local aí.
    • Se D<0, então (x_0,y_0) é ponto de sela.
    • Se D=0, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calcule as segundas derivadas da função (passo a passo):
  • A partir de f_x(x,y)=3x^{2}-12, derivando novamente em relação a x,
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}-12\bigr)=6x.
  • A partir de f_y(x,y)=2y-4, derivando novamente em relação a y,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y-4\bigr)=2.
  • Derivada mista f_{xy}: derivando f_x em relação a y (ou f_y em relação a x); como f_x não depende de y e f_y não depende de x,
f_{xy}(x,y)=0.
Portanto o discriminante genérico é
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}=(6x)\cdot 2 - 0^{2}=12x.

Passo 6

Classificação em cada ponto crítico avaliando f_{xx} e D.
  • Para (x,y)=(2,2):
    • f_{xx}(2,2)=6\cdot 2=12>0.
    • D(2,2)=12\cdot 2=24>0.
    • Como D>0 e f_{xx}>0, concluímos que (2,2) é um mínimo local.
  • Para (x,y)=(-2,2):
    • f_{xx}(-2,2)=6\cdot(-2)=-12<0.
    • D(-2,2)=12\cdot(-2)=-24<0.
    • Como D<0, concluímos que (-2,2) é um ponto de sela.

Resposta

(2,2) é um mínimo local.
(-2,2) é um ponto de sela.

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