Determine todos os pontos críticos das funções abaixo e utilize o teste da segunda derivada para classificá-los em máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Determinar todos os pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é zero ou não está definido).
- Classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função está definida para todo
. - Vamos buscar pontos onde as derivadas parciais existem e o gradiente
é igual a zero.
Passo 2
Como encontrar pontos críticos (recap didático):
- Um ponto
é crítico se as derivadas parciais primeiras existem e
- Aqui as derivadas existem em toda parte, então basta resolver o sistema das equações acima.
Calcule as derivadas parciais primeiras passo a passo:
- Derivada parcial em relação a
: a regra é derivar mantendo como constante e derivar como zero (pois não depende de ). Então
- Derivada parcial em relação a
: derivando e tratando como constante,
Passo 3
Resolver o sistema
e
.
Primeira equação:
Segunda equação:
Combinação das soluções dá dois pontos críticos:
Passo 4
Explicação didática do teste da segunda derivada para funções de duas variáveis:
- Define-se as segundas derivadas parciais
- Forma-se o determinante do Hessiano (discriminante) em um ponto
:
- Interpretação:
- Se
e em , então tem mínimo local aí. - Se
e em , então tem máximo local aí. - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
Passo 5
Calcule as segundas derivadas da função (passo a passo):
- A partir de
, derivando novamente em relação a ,
- A partir de
, derivando novamente em relação a ,
- Derivada mista
: derivando em relação a (ou em relação a ); como não depende de e não depende de ,
Portanto o discriminante genérico é
Passo 6
Classificação em cada ponto crítico avaliando
e
.
-
Para
: -
. -
. - Como
e , concluímos que é um mínimo local.
-
-
Para
: -
. -
. - Como
, concluímos que é um ponto de sela.
-