Determine todos os pontos críticos das funções abaixo e utilize o teste da segunda derivada para classificá-los em máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede que se determine todos os pontos críticos da função
e que se classifique cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste da segunda derivada. Informações dadas e observações iniciais:
- A função está definida para todos os pares
. - Deve-se encontrar todos os pontos onde o gradiente de
é nulo (ou não existe). - Para cada ponto crítico encontrado, usar o teste da segunda derivada (determinante da matriz Hessiana) para classificar o ponto.
Passo 2
O que é ponto crítico (explicação didática e procedimento):
- Um ponto
é crítico quando as derivadas parciais primeiras são simultaneamente zero ou não existem. Essas derivadas formam o gradiente. - O gradiente de
é o vetor , onde e . - Então devemos calcular
e e resolver o sistema
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
- Derivando em relação a
: trate como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de é . As demais parcelas não dependem de (exceto a constante), então
- Podemos fatorar
:
- Derivando em relação a
: trate como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de é . Assim
Passo 3
Resolver o sistema
.
Sistema:
Como a primeira equação é produto igual a zero, temos duas possibilidades:
- Caso
:
- Substituindo em
: . - Logo um ponto crítico é
.
- Caso
:
- Substituindo em
: . - Logo pontos críticos são
e .
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Teste da segunda derivada (explicação didática do método):
- Calcule as segundas derivadas parciais:
, e . - Forme o determinante do Hessiano (denotado
):
- Regras de classificação:
- Se
e no ponto, então é mínimo local. - Se
e no ponto, então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Motivação curta:
mede a curvatura “combinada” nas duas direções; o sinal de
indica concavidade na direção
. Essas informações juntas dizem se a vizinhança é “bacia” (mínimo), “colina” (máximo) ou misturada (sela).
Passo 5
Calcular as segundas derivadas parciais explicitamente:
- A partir de
, derivando em :
- A partir de
, derivando em :
- Derivando
em relação a (ou em relação a ), obtemos
- Agora o determinante do Hessiano:
- Simplificando:
Passo 6
Avaliar
e
em cada ponto crítico e classificar (conta passo a passo):
- No ponto
:
-
. -
. - Como
e , pelo teste da segunda derivada é um máximo local.
- No ponto
:
-
. -
. - Como
, é um ponto de sela (o valor de não precisa ser verificado quando ).
- No ponto
:
-
. -
. - Como
, é também um ponto de sela.
(Opcional de verificação: valores da função nos pontos para intuir a gradação)
-
. -
. -
.
Isto mostra que em torno dehá valores menores que , coerente com máximo local.