Determine todos os pontos críticos das funções abaixo e utilize o teste da segunda derivada para classificá-los em máximos, mínimos ou pontos de sela.
f(x, y)=x^{2} y-2 x^{2}-y^{2}+8

Passo 1

O enunciado pede que se determine todos os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}y-2x^{2}-y^{2}+8
e que se classifique cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste da segunda derivada. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Deve-se encontrar todos os pontos onde o gradiente de f é nulo (ou não existe).
  • Para cada ponto crítico encontrado, usar o teste da segunda derivada (determinante da matriz Hessiana) para classificar o ponto.

Passo 2

O que é ponto crítico (explicação didática e procedimento):
  • Um ponto (x,y) é crítico quando as derivadas parciais primeiras são simultaneamente zero ou não existem. Essas derivadas formam o gradiente.
  • O gradiente de f é o vetor \nabla f=(f_{x},f_{y}), onde f_{x}=\dfrac{\partial f}{\partial x} e f_{y}=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Então devemos calcular f_{x} e f_{y} e resolver o sistema
f_{x}(x,y)=0,\qquad f_{y}(x,y)=0.
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
  • Derivando em relação a x: trate y como constante. A derivada de x^{2}y em relação a x é 2x\cdot y. A derivada de -2x^{2} é -4x. As demais parcelas não dependem de x (exceto a constante), então
f_{x}(x,y)=2x y-4x.
  • Podemos fatorar 2x:
f_{x}(x,y)=2x(y-2).
  • Derivando em relação a y: trate x como constante. A derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}. A derivada de -y^{2} é -2y. Assim
f_{y}(x,y)=x^{2}-2y.

Passo 3

Resolver o sistema \;f_{x}=0,\;f_{y}=0.
Sistema:
2x(y-2)=0, \qquad x^{2}-2y=0.
Como a primeira equação é produto igual a zero, temos duas possibilidades:
  1. Caso \;x=0:
  • Substituindo em f_{y}=0: \;0^{2}-2y=0\Rightarrow -2y=0\Rightarrow y=0.
  • Logo um ponto crítico é \,(0,0).
  1. Caso \;y=2:
  • Substituindo em f_{y}=0: \;x^{2}-2\cdot 2=0\Rightarrow x^{2}-4=0\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x=\pm 2.
  • Logo pontos críticos são \,(2,2) e (-2,2).
Portanto, os pontos críticos são \,(0,0), \,(2,2) e (-2,2).

Passo 4

Teste da segunda derivada (explicação didática do método):
  • Calcule as segundas derivadas parciais: f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Forme o determinante do Hessiano (denotado D):
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
  • Regras de classificação:
    • Se \;D>0 e \;f_{xx}>0 no ponto, então é mínimo local.
    • Se \;D>0 e \;f_{xx}<0 no ponto, então é máximo local.
    • Se \;D<0 então é ponto de sela.
    • Se \;D=0 o teste é inconclusivo.
Motivação curta: D mede a curvatura “combinada” nas duas direções; o sinal de f_{xx} indica concavidade na direção x. Essas informações juntas dizem se a vizinhança é “bacia” (mínimo), “colina” (máximo) ou misturada (sela).

Passo 5

Calcular as segundas derivadas parciais explicitamente:
  • A partir de f_{x}(x,y)=2x(y-2), derivando em x:
f_{xx}(x,y)=2(y-2).
  • A partir de f_{y}(x,y)=x^{2}-2y, derivando em y:
f_{yy}(x,y)=-2.
  • Derivando f_{x} em relação a y (ou f_{y} em relação a x), obtemos
f_{xy}(x,y)=2x.
  • Agora o determinante do Hessiano:
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2} = \bigl(2(y-2)\bigr)\cdot(-2)- (2x)^{2}.
  • Simplificando:
D(x,y)=-4(y-2)-4x^{2}=-4\bigl(x^{2}+y-2\bigr).

Passo 6

Avaliar D e f_{xx} em cada ponto crítico e classificar (conta passo a passo):
  1. No ponto \;(0,0):
  • f_{xx}(0,0)=2(0-2)=2(-2)=-4.
  • D(0,0)=-4\bigl(0^{2}+0-2\bigr)=-4(-2)=8.
  • Como D(0,0)>0 e f_{xx}(0,0)=-4<0, pelo teste da segunda derivada (0,0) é um máximo local.
  1. No ponto \;(2,2):
  • f_{xx}(2,2)=2(2-2)=2\cdot 0=0.
  • D(2,2)=-4\bigl(2^{2}+2-2\bigr)=-4(4+0)=-16.
  • Como D(2,2)<0, é um ponto de sela (o valor de f_{xx} não precisa ser verificado quando D<0).
  1. No ponto \;(-2,2):
  • f_{xx}(-2,2)=2(2-2)=0.
  • D(-2,2)=-4\bigl((-2)^{2}+2-2\bigr)=-4(4+0)=-16.
  • Como D(-2,2)<0, é também um ponto de sela.
(Opcional de verificação: valores da função nos pontos para intuir a gradação)
  • f(0,0)=0^{2}\cdot 0-2\cdot 0^{2}-0^{2}+8=8.
  • f(2,2)=2^{2}\cdot 2-2\cdot 2^{2}-2^{2}+8=8-8-4+8=4.
  • f(-2,2)=(-2)^{2}\cdot 2-2\cdot (-2)^{2}-2^{2}+8=8-8-4+8=4.
    Isto mostra que em torno de (0,0) há valores menores que 8, coerente com máximo local.

Resposta

(0,0) — máximo local
(2,2) — ponto de sela
(-2,2) — ponto de sela

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