Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede: determinar todos os valores de
para os quais a função NÃO é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
com numerador . - O denominador é
. - A pergunta é: quais valores de
tornam descontínua?
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (mini-aula): uma função
é contínua em um ponto
se e somente se as três condições abaixo se verificarem simultaneamente:
-
está definida; -
existe (os limites laterais existem e são iguais); -
.
Explicando de forma simples: para ser contínua em
, a função tem que existir em
e os valores próximos a
devem se aproximar do valor
. Se qualquer uma dessas condições falhar, a função não é contínua em
.
Passo 3
Onde uma função racional pode falhar em ser contínua? Observação importante: toda função racional (quociente de polinômios) é contínua em todos os pontos do seu domínio. Os únicos possíveis pontos de descontinuidade são aqueles onde o denominador é zero, porque aí a função não está definida (violando a condição 1 da definição de continuidade).
Portanto, vamos encontrar os pontos onde o denominador
se anula.
Passo 4
Resolver a equação do denominador igual a zero (passo a passo):
Uma propriedade algébrica simples: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Então:
Resolvendo cada uma:
Logo, o denominador zera em
e em
.
Passo 5
Verificar se alguma dessas raízes do denominador é anulada também pelo numerador (o que geraria uma possível descontinuidade removível). Calculamos o numerador nesses pontos:
Como o numerador não é zero em
nem em
, NÃO há cancelamento de fator, ou seja, não é uma forma do tipo
que poderia ser removível. Portanto em ambos os pontos a função está indefinida de fato e a descontinuidade não é removível.
Passo 6
Classificar o tipo de descontinuidade (mini-aula sobre comportamento): quando o denominador vai a zero mas o numerador não, a função tende a explodir para infinito (positivo ou negativo) ao nos aproximarmos do ponto — isso é chamado de descontinuidade essencial do tipo “assíntota vertical” ou descontinuidade infinita. Para ver isso de forma concreta, analisamos os limites laterais.
Análise de sinais e limites laterais em
:
- Para
(pela esquerda): é pequeno negativo, é aproximadamente , logo é positivo pequeno. O numerador perto de é aproximadamente (negativo). Assim tende a . Em símbolos:
- Para
(pela direita): pequeno, , então é negativo pequeno. Numerador negativo, logo quociente negativo/negativo = positivo grande. Assim
Análise de sinais e limites laterais em
:
- Para
: pequeno, aproximadamente , então denominador é negativo pequeno; numerador positivo; portanto
- Para
: pequeno, , denominador positivo pequeno; numerador positivo; logo
Conclusão desta análise: em ambos os pontos os limites laterais são infinitos (de sinais opostos) — há assíntotas verticais em
e
. Em particular, a condição 1 da definição de continuidade (existência de
) já falha e os limites não se igualam a nenhum valor finito, então
não é contínua nesses pontos.
Passo 7
Resumo final e resposta: os únicos pontos onde
não é contínua são exatamente os zeros do denominador que não são cancelados pelo numerador, ou seja,
e
. Forçoso lembrar: para qualquer outro
onde o denominador é diferente de zero,
é uma razão de polinômios e, portanto, contínua.