Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
f(x)=\frac{3 x-2}{(x+3)(x-6)}

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{3x-2}{(x+3)(x-6)} e pede: determinar todos os valores de x para os quais a função NÃO é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x) com numerador 3x-2.
  • O denominador é (x+3)(x-6).
  • A pergunta é: quais valores de x tornam f descontínua?

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (mini-aula): uma função f é contínua em um ponto a se e somente se as três condições abaixo se verificarem simultaneamente:
  1. f(a) está definida;
  2. \displaystyle\lim_{x\to a}f(x) existe (os limites laterais existem e são iguais);
  3. \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Explicando de forma simples: para ser contínua em a, a função tem que existir em a e os valores próximos a a devem se aproximar do valor f(a). Se qualquer uma dessas condições falhar, a função não é contínua em a.

Passo 3

Onde uma função racional pode falhar em ser contínua? Observação importante: toda função racional (quociente de polinômios) é contínua em todos os pontos do seu domínio. Os únicos possíveis pontos de descontinuidade são aqueles onde o denominador é zero, porque aí a função não está definida (violando a condição 1 da definição de continuidade).
Portanto, vamos encontrar os pontos onde o denominador (x+3)(x-6) se anula.

Passo 4

Resolver a equação do denominador igual a zero (passo a passo):
(x+3)(x-6)=0.
Uma propriedade algébrica simples: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Então:
x+3=0 \quad\text{ou}\quad x-6=0.
Resolvendo cada uma:
x+3=0 \Rightarrow x=-3,
x-6=0 \Rightarrow x=6.
Logo, o denominador zera em x=-3 e em x=6.

Passo 5

Verificar se alguma dessas raízes do denominador é anulada também pelo numerador (o que geraria uma possível descontinuidade removível). Calculamos o numerador nesses pontos:
3(-3)-2 = -9-2 = -11 \neq 0,
3(6)-2 = 18-2 = 16 \neq 0.
Como o numerador não é zero em x=-3 nem em x=6, NÃO há cancelamento de fator, ou seja, não é uma forma do tipo 0/0 que poderia ser removível. Portanto em ambos os pontos a função está indefinida de fato e a descontinuidade não é removível.

Passo 6

Classificar o tipo de descontinuidade (mini-aula sobre comportamento): quando o denominador vai a zero mas o numerador não, a função tende a explodir para infinito (positivo ou negativo) ao nos aproximarmos do ponto — isso é chamado de descontinuidade essencial do tipo “assíntota vertical” ou descontinuidade infinita. Para ver isso de forma concreta, analisamos os limites laterais.
Análise de sinais e limites laterais em x=-3:
  • Para x\to -3^- (pela esquerda): x+3<0 é pequeno negativo, x-6<0 é aproximadamente -9, logo (x+3)(x-6) é positivo pequeno. O numerador perto de -3 é aproximadamente -11 (negativo). Assim f(x) tende a -\infty. Em símbolos:
\lim_{x\to -3^-}f(x)=-\infty.
  • Para x\to -3^+ (pela direita): x+3>0 pequeno, x-6<0, então (x+3)(x-6) é negativo pequeno. Numerador \approx -11 negativo, logo quociente negativo/negativo = positivo grande. Assim
\lim_{x\to -3^+}f(x)=+\infty.
Análise de sinais e limites laterais em x=6:
  • Para x\to 6^-: x-6<0 pequeno, x+3>0 aproximadamente 9, então denominador é negativo pequeno; numerador \approx 16 positivo; portanto
\lim_{x\to 6^-}f(x)=-\infty.
  • Para x\to 6^+: x-6>0 pequeno, x+3>0, denominador positivo pequeno; numerador positivo; logo
\lim_{x\to 6^+}f(x)=+\infty.
Conclusão desta análise: em ambos os pontos os limites laterais são infinitos (de sinais opostos) — há assíntotas verticais em x=-3 e x=6. Em particular, a condição 1 da definição de continuidade (existência de f(a)) já falha e os limites não se igualam a nenhum valor finito, então f não é contínua nesses pontos.

Passo 7

Resumo final e resposta: os únicos pontos onde f não é contínua são exatamente os zeros do denominador que não são cancelados pelo numerador, ou seja, x=-3 e x=6. Forçoso lembrar: para qualquer outro x onde o denominador é diferente de zero, f é uma razão de polinômios e, portanto, contínua.

Resposta

x=-3
x=6

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