Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
f(x)=\frac{x+1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x para os quais a função
f(x)=\frac{x+1}{x-2}
não é contínua. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é a expressão (x+1).
  • O denominador é a expressão (x-2).
  • A função é dada como uma fração (razão) das duas expressões acima.

Passo 2

O que significa “contínua num ponto”? Vou explicar devagar e de maneira prática. Dizemos que f é contínua em um ponto a se três coisas acontecem simultaneamente:
  1. f(a) está definida (ou seja, o valor f(a) existe).
  2. O limite \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe (e é finito).
  3. Esse limite coincide com o valor da função: \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Se qualquer uma dessas três falhas, então f não é contínua em a. Esse é o teste que sempre se usa na prova: verificar existência de f(a) e do limite e compará-los.

Passo 3

Propriedade útil (muito usada em provas): polinômios são contínuos em todo ponto real; quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador é diferente de zero. Em linguagem simples: se p(x) e q(x) são polinômios, então p e q são contínuos em toda \mathbb{R}, e
\frac{p(x)}{q(x)}
é contínua em todo ponto onde q(x)\neq 0. Isso vale por regras de limites e porque a divisão preserva continuidade desde que o denominador não zere.

Passo 4

Aplicando o item anterior ao problema: o numerador x+1 e o denominador x-2 são polinômios, logo ambos são contínuos em todo \mathbb{R}. Portanto a função racional
f(x)=\frac{x+1}{x-2}
é contínua em todo ponto x tal que o denominador não se anula, isto é, em todo x com x-2\neq 0. Em termos práticos, isso significa continuidade em todo x\in\mathbb{R} exceto possivelmente em x=2. Então já sabemos que só precisamos analisar o ponto x=2.

Passo 5

Agora analisar x=2. Primeiro: f(2) não está definida, porque colocar x=2 dá divisão por zero no denominador. Pela condição (1) da definição de continuidade, se f(2) não existe então f não é contínua em 2. Mas para entender o tipo de descontinuidade (útil na prova) vamos estudar os limites laterais em 2.
Observe que para x muito próximo de 2 temos:
  • O numerador x+1 fica próximo de 3, ou seja, é positivo nas proximidades de 2.
  • O denominador x-2 muda de sinal ao atravessar 2: é negativo para x<2 (pequeno em módulo) e positivo para x>2 (pequeno em módulo).
Por isso:
\lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty.
Explicando em palavras: aproximando por valores maiores que 2 o denominador é um número positivo muito pequeno e o numerador é aproximadamente 3>0, então a fração cresce sem limite positivo; aproximando por valores menores que 2 o denominador é negativo muito pequeno e o numerador positivo, então a fração tende a -\infty.

Passo 6

Conclusões sobre x=2:
  • f(2) não existe (função não está definida em 2).
  • Os limites laterais são \pm\infty (não existe limite finito) e ainda são diferentes entre si.
    Portanto f é descontinua em x=2. O tipo de descontinuidade é uma descontinuidade essencial do tipo “infinita” (às vezes chamada de assíntota vertical em x=2), e é não removível (não dá para definir um valor em x=2 que torne f contínua aí).

Passo 7

Resumo prático para a prova (pegar isso como receita rápida):
  • Para funções racionais, primeiro determine onde o denominador é zero: esses são os únicos pontos possíveis de descontinuidade.
  • Em cada ponto onde o denominador zera, verifique se é possível um limite finito (removível) ou se os limites laterais vão para \pm\infty (não removível).
    No caso de f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}, o único ponto problemático é x=2 e ele é uma descontinuidade infinita.

Resposta

x=2

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