Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
para os quais a função
não é contínua. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é a expressão
. - O denominador é a expressão
. - A função é dada como uma fração (razão) das duas expressões acima.
Passo 2
O que significa “contínua num ponto”? Vou explicar devagar e de maneira prática. Dizemos que
é contínua em um ponto
se três coisas acontecem simultaneamente:
-
está definida (ou seja, o valor existe). - O limite
existe (e é finito). - Esse limite coincide com o valor da função:
.
Se qualquer uma dessas três falhas, então
não é contínua em
. Esse é o teste que sempre se usa na prova: verificar existência de
e do limite e compará-los.
Passo 3
Propriedade útil (muito usada em provas): polinômios são contínuos em todo ponto real; quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador é diferente de zero. Em linguagem simples: se
e
são polinômios, então
e
são contínuos em toda
, e
é contínua em todo ponto onde
. Isso vale por regras de limites e porque a divisão preserva continuidade desde que o denominador não zere.
Passo 4
Aplicando o item anterior ao problema: o numerador
e o denominador
são polinômios, logo ambos são contínuos em todo
. Portanto a função racional
é contínua em todo ponto
tal que o denominador não se anula, isto é, em todo
com
. Em termos práticos, isso significa continuidade em todo
exceto possivelmente em
. Então já sabemos que só precisamos analisar o ponto
.
Passo 5
Agora analisar
. Primeiro:
não está definida, porque colocar
dá divisão por zero no denominador. Pela condição (1) da definição de continuidade, se
não existe então
não é contínua em
. Mas para entender o tipo de descontinuidade (útil na prova) vamos estudar os limites laterais em
.
Observe que para
muito próximo de
temos:
- O numerador
fica próximo de , ou seja, é positivo nas proximidades de . - O denominador
muda de sinal ao atravessar : é negativo para (pequeno em módulo) e positivo para (pequeno em módulo).
Por isso:
Explicando em palavras: aproximando por valores maiores que
o denominador é um número positivo muito pequeno e o numerador é aproximadamente
, então a fração cresce sem limite positivo; aproximando por valores menores que
o denominador é negativo muito pequeno e o numerador positivo, então a fração tende a
.
Passo 6
Conclusões sobre
:
-
não existe (função não está definida em ). - Os limites laterais são
(não existe limite finito) e ainda são diferentes entre si.
Portantoé descontinua em . O tipo de descontinuidade é uma descontinuidade essencial do tipo “infinita” (às vezes chamada de assíntota vertical em ), e é não removível (não dá para definir um valor em que torne contínua aí).
Passo 7
Resumo prático para a prova (pegar isso como receita rápida):
- Para funções racionais, primeiro determine onde o denominador é zero: esses são os únicos pontos possíveis de descontinuidade.
- Em cada ponto onde o denominador zera, verifique se é possível um limite finito (removível) ou se os limites laterais vão para
(não removível).
No caso de, o único ponto problemático é e ele é uma descontinuidade infinita.