Determine todos os valores de
no intervalo
que satisfaçam a desigualdade:
-1<\operatorname{tg}(x) \leq 1
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
no intervalo
que satisfazem a desigualdade
Informações e condições relevantes fornecidas ou necessárias (extraídas do enunciado e conhecimento da função tangente):
- O intervalo onde devemos procurar as soluções é
. - A função tangente
(ou ) tem assíntotas verticais e é indefinida em para todo . Em particular, dentro de as assíntotas ocorrem em e . - A tangente é periódica de período
: se é solução então tem comportamento repetido. - Os valores especiais
e serão úteis. - O que se pede: o conjunto de
tais que pertence ao intervalo aberto- fechado .
Passo 2
Entendendo como resolver a desigualdade num ramo principal: considere o ramo principal da tangente onde ela é contínua e estritamente crescente, que é
. Em cada ramo entre assíntotas a tangente é estritamente crescente de
a
. Isso permite aplicar a função inversa
(ou
) preservando desigualdades.
Dentro de
, a desigualdade
é equivalente, aplicando a
(função crescente), a
Sabendo que
e
, obtemos:
Ou seja, no ramo central as soluções são
.
Explicação didática curta: como
é crescente nesse intervalo, valores de
entre
e
correspondem a
entre
e
. A inclusão/exclusão dos extremos segue da desigualdade original:
é estritamente proibido;
é permitido.
Passo 3
Usando periodicidade: a tangente tem período
. Logo todas as soluções gerais são obtidas somando inteiros múltiplos de
ao intervalo obtido no ramo principal. Assim a solução geral (em
, evitando assíntotas) é
Observe que estes intervalos não cruzam as assíntotas
, porque
ficam a
das assíntotas.
Passo 4
Agora restringimos às soluções que caem no intervalo pedido
. Testamos valores de
que possam colocar os intervalos acima dentro de
.
-
Para
: obtemos . Interseção com é , porque está dentro de e também (fechado à direita). - Verificação de pontos importantes:
satisfaz ( e ), e satisfaz (igual a permitido).
- Verificação de pontos importantes:
-
Para
: obtemos . Este intervalo está inteiramente dentro de , portanto é parte da solução. - Verificações:
(excluído porque desigualdade é estrita em ) — por isso o extremo esquerdo é aberto. (incluído).
- Verificações:
-
Para
: obtemos . Interseção com é , porque e devemos cortar no fim do intervalo pedido. O ponto pertence à solução, pois satisfaz a desigualdade. -
Para
ou os intervalos ficam totalmente fora de e podem ser ignorados.
Passo 5
Reunindo os trechos obtidos, a solução em
é a união dos três intervalos:
Comentário final e dica de prova: o procedimento padrão em provas é (i) resolver no ramo principal onde
é monotônica, usando
; (ii) somar
para obter as soluções gerais; (iii) intersectar com o intervalo pedido e verificar inclusão/exclusão dos extremos e existência de assíntotas. Tu consegue — respira fundo e segue esse roteiro na prova.