Determine todos os valores de x no intervalo 0,2 \pi que satisfaçam a desigualdade:
-1<\operatorname{tg}(x) \leq 1

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x no intervalo [0,2\pi] que satisfazem a desigualdade
-1<\operatorname{tg}(x)\leq 1.
Informações e condições relevantes fornecidas ou necessárias (extraídas do enunciado e conhecimento da função tangente):
  • O intervalo onde devemos procurar as soluções é [0,2\pi].
  • A função tangente \operatorname{tg}(x) (ou \tan x) tem assíntotas verticais e é indefinida em x=\dfrac{\pi}{2} + k\pi para todo k\in\mathbb{Z}. Em particular, dentro de [0,2\pi] as assíntotas ocorrem em x=\dfrac{\pi}{2} e x=\dfrac{3\pi}{2}.
  • A tangente é periódica de período \pi: se x é solução então x+k\pi tem comportamento repetido.
  • Os valores especiais \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 e \operatorname{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1 serão úteis.
  • O que se pede: o conjunto de x\in[0,2\pi] tais que \operatorname{tg}(x) pertence ao intervalo aberto- fechado (-1,1].

Passo 2

Entendendo como resolver a desigualdade num ramo principal: considere o ramo principal da tangente onde ela é contínua e estritamente crescente, que é \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Em cada ramo entre assíntotas a tangente é estritamente crescente de -\infty a +\infty. Isso permite aplicar a função inversa \operatorname{arctg} (ou \arctan) preservando desigualdades.
Dentro de \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), a desigualdade
-1<\operatorname{tg}(x)\leq 1
é equivalente, aplicando a \arctan (função crescente), a
\arctan(-1) < x \leq \arctan(1).
Sabendo que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}, obtemos:
-\dfrac{\pi}{4} < x \leq \dfrac{\pi}{4}.
Ou seja, no ramo central as soluções são x\in\left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right].
Explicação didática curta: como \tan é crescente nesse intervalo, valores de \tan x entre -1 e 1 correspondem a x entre \arctan(-1) e \arctan(1). A inclusão/exclusão dos extremos segue da desigualdade original: -1 é estritamente proibido; 1 é permitido.

Passo 3

Usando periodicidade: a tangente tem período \pi. Logo todas as soluções gerais são obtidas somando inteiros múltiplos de \pi ao intervalo obtido no ramo principal. Assim a solução geral (em \mathbb{R}, evitando assíntotas) é
x\in\left(-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\\ \dfrac{\pi}{4}+k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}.
Observe que estes intervalos não cruzam as assíntotas x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, porque \pm\dfrac{\pi}{4}+k\pi ficam a \dfrac{\pi}{4} das assíntotas.

Passo 4

Agora restringimos às soluções que caem no intervalo pedido [0,2\pi]. Testamos valores de k que possam colocar os intervalos acima dentro de [0,2\pi].
  • Para k=0: obtemos \left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]. Interseção com [0,2\pi] é [0,\dfrac{\pi}{4}], porque 0 está dentro de \left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right] e \dfrac{\pi}{4} também (fechado à direita).
    • Verificação de pontos importantes: \operatorname{tg}(0)=0 satisfaz ( 0>-1 e 0\le1), e \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 satisfaz (igual a 1 permitido).
  • Para k=1: obtemos \left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi,\\ \dfrac{\pi}{4}+\pi\right]=\left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right]. Este intervalo está inteiramente dentro de [0,2\pi], portanto é parte da solução.
    • Verificações: \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-1 (excluído porque desigualdade é estrita em -1) — por isso o extremo esquerdo é aberto. \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=1 (incluído).
  • Para k=2: obtemos \left(-\dfrac{\pi}{4}+2\pi,\\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi\right]=\left(\dfrac{7\pi}{4},\dfrac{9\pi}{4}\right]. Interseção com [0,2\pi] é \left(\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right], porque \dfrac{9\pi}{4}>2\pi e devemos cortar no fim do intervalo pedido. O ponto 2\pi pertence à solução, pois \operatorname{tg}(2\pi)=0 satisfaz a desigualdade.
  • Para k\leq -1 ou k\geq 3 os intervalos ficam totalmente fora de [0,2\pi] e podem ser ignorados.

Passo 5

Reunindo os trechos obtidos, a solução em [0,2\pi] é a união dos três intervalos:
[0,\tfrac{\pi}{4}]\\ \cup\\ \left(\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right]\\ \cup\\ \left(\tfrac{7\pi}{4},2\pi\right].
Comentário final e dica de prova: o procedimento padrão em provas é (i) resolver no ramo principal onde \tan é monotônica, usando \arctan; (ii) somar k\pi para obter as soluções gerais; (iii) intersectar com o intervalo pedido e verificar inclusão/exclusão dos extremos e existência de assíntotas. Tu consegue — respira fundo e segue esse roteiro na prova.

Resposta

[0,\tfrac{\pi}{4}]\\ \cup\\ \left(\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right]\\ \cup\\ \left(\tfrac{7\pi}{4},2\pi\right]

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