Quantas e quais são as soluções da equação sen (x)=0 que pertencem ao intervalo [-20,+20] ?

Passo 1

O enunciado pergunta quantas soluções e quais são as soluções da equação \operatorname{sen}(x)=0 que pertencem ao intervalo [-20,+20].
Informações dadas:
  • A equação a resolver é \operatorname{sen}(x)=0.
  • O intervalo onde procurar soluções é [-20,+20].

Passo 2

Conhecimento essencial (o que preciso lembrar para resolver): os zeros da função seno ocorrem sempre quando o argumento é um múltiplo inteiro de \pi. Em linguagem matemática, a solução geral da equação \operatorname{sen}(x)=0 é
x = k\pi,
onde k é um número inteiro ( k\in\mathbb{Z}).
Explicação rápida do porquê: no círculo unitário a componente y=\operatorname{sen}(\theta) vale zero exatamente quando o ponto está sobre o eixo x, isto é, para \theta=0,\pi,2\pi,\ldots e suas contrapartes negativas; esses ângulos são precisamente os múltiplos inteiros de \pi. Além disso, \operatorname{sen} é periódica de período \,2\pi, então os zeros se repetem a cada múltiplo de \pi.

Passo 3

Aplicar a solução geral ao intervalo pedido: queremos todos os k\in\mathbb{Z} tais que k\pi\in[-20,20]. Isso equivale à desigualdade
-20 \le k\pi \le 20.

Passo 4

Isolar k dividindo por \pi>0:
-\frac{20}{\pi} \le k \le \frac{20}{\pi}.
Agora calculamos numericamente os limites (aproximação suficiente para contar inteiros):
\frac{20}{\pi}\approx 6,366\quad\text{e}\quad -\frac{20}{\pi}\approx -6,366.

Passo 5

Determinar os inteiros k dentro desse intervalo: k deve ser um inteiro entre -6{,}366 e 6{,}366. Os inteiros que satisfazem isso são
k\in\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6\}.
Contagem: o número de inteiros de -6 até 6 inclusive é
6 - (-6) + 1 = 13.
Dica prática para a prova: para contar inteiros em um intervalo fechado [a,b] com a,b inteiros use b-a+1; se a,b não são inteiros, aplique \lceil a\rceil e \lfloor b\rfloor e conte \lfloor b\rfloor - \lceil a\rceil + 1.

Passo 6

Concluir quais são as soluções x=k\pi correspondentes aos k encontrados. Cada k da lista do passo anterior fornece uma solução x no intervalo [-20,20]. Segure um segundo de ânimo: já temos tudo para escrever a resposta final! Você já fez o mais difícil — identificar o padrão e contar os k.

Resposta

Número de soluções: 13
Soluções: -6\pi,\\\ -5\pi,\\\ -4\pi,\\\ -3\pi,\\\ -2\pi,\\\ -1\pi,\\\ 0,\\\ 1\pi,\\\ 2\pi,\\\ 3\pi,\\\ 4\pi,\\\ 5\pi,\\\ 6\pi

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