Determine todos os valores de
tais que:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar todos os números complexos
que satisfazem a equação
Informações dadas e coisas que vamos usar (sem resolver ainda):
- A incógnita
pertence a ; podemos escrever como com . - O número do lado direito é
, que tem módulo e argumento (ângulo) modulo . - A exponencial complexa
é bem definida para e será expressa em termos de e para resolver a equação.
Passo 2
Representação de
e fórmula essencial. Seja
onde
é a parte real e
é a parte imaginária (ambos reais). A fórmula de Euler nos dá, para
real,
Usando a propriedade da exponencial para soma no expoente, obtemos
Aqui:
-
é um número real positivo (porque a exponencial real é sempre ); -
e são as partes real e imaginária de .
Passo 3
Comparar
com
. Escrevemos
em forma trigonométrica/espectral:
Mas o argumento de um número complexo é definido módulo
, então os argumentos que representam
são
Também o módulo de
é
.
Agora igualamos as duas formas:
Comparando módulos (valores absolutos) dos dois lados:
Passo 4
Resolver
. Como
é estritamente positiva e
, a única solução real é
Expliquei: para
, a equação
tem solução única
.
Passo 5
Comparar argumentos (as partes angulares). Com
temos
Para que isso valha igual a
, o ângulo
deve satisfazer
pois
é
sempre que
é congruente a
módulo
.
Passo 6
Escrever a solução geral para
. Juntando
com os valores de
, obtemos
Forma alternativa, equivalente:
Passo 7
Verificação rápida e intuição: para
,
e para qualquer inteiro
a periodicidade
garante que a lista acima dá todas as soluções. Outra forma de ver é usar o logaritmo complexo multivalorado: