Determine todos os valores de z \in \mathrm{C} tais que:
e^{z}=i

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar todos os números complexos z que satisfazem a equação
e^{z} = i.
Informações dadas e coisas que vamos usar (sem resolver ainda):
  • A incógnita z pertence a \mathrm{C}; podemos escrever z como z = x + i y com x,y \in \mathrm{R}.
  • O número do lado direito é i, que tem módulo 1 e argumento (ângulo) \dfrac{\pi}{2} modulo 2\pi.
  • A exponencial complexa e^{z} é bem definida para z\in\mathrm{C} e será expressa em termos de x e y para resolver a equação.

Passo 2

Representação de z e fórmula essencial. Seja
z = x + i y,
onde x é a parte real e y é a parte imaginária (ambos reais). A fórmula de Euler nos dá, para y real,
e^{i y} = \cos y + i \sin y.
Usando a propriedade da exponencial para soma no expoente, obtemos
e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} e^{i y} = e^{x}\bigl(\cos y + i\sin y\bigr).
Aqui:
  • e^{x} é um número real positivo (porque a exponencial real é sempre >0);
  • \cos y e \sin y são as partes real e imaginária de e^{i y}.

Passo 3

Comparar e^{z} com i. Escrevemos i em forma trigonométrica/espectral:
i = 0 + i\cdot 1 = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right).
Mas o argumento de um número complexo é definido módulo 2\pi, então os argumentos que representam i são
\arg(i)=\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Também o módulo de i é |i|=1.
Agora igualamos as duas formas:
e^{x}\bigl(\cos y + i\sin y\bigr) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right).
Comparando módulos (valores absolutos) dos dois lados:
e^{x} = |e^{z}| = |i| = 1.

Passo 4

Resolver e^{x}=1. Como e^{x} é estritamente positiva e e^{0}=1, a única solução real é
x = 0.
Expliquei: para x\in\mathbb{R}, a equação e^{x}=1 tem solução única x=0.

Passo 5

Comparar argumentos (as partes angulares). Com x=0 temos
e^{z} = e^{i y} = \cos y + i\sin y.
Para que isso valha igual a i, o ângulo y deve satisfazer
y = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z},
pois e^{i y} é i sempre que y é congruente a \tfrac{\pi}{2} módulo 2\pi.

Passo 6

Escrever a solução geral para z. Juntando x=0 com os valores de y, obtemos
z = 0 + i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr) = i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr), \qquad k\in\mathbb{Z}.
Forma alternativa, equivalente:
z = \tfrac{i\pi}{2} + 2\pi i k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Verificação rápida e intuição: para k=0,
e^{i\pi/2} = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = i,
e para qualquer inteiro k a periodicidade e^{i(y+2\pi k)}=e^{i y} garante que a lista acima dá todas as soluções. Outra forma de ver é usar o logaritmo complexo multivalorado:
z = \log(i) = \ln|i| + i\arg(i) = 0 + i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr).

Resposta

z = i\Bigl(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr),\\ k\in\mathbb{Z}

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