Determine todos os valores de
tais que:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: encontrar todos os números complexos
tais que . - Informação dada: o lado direito é o número complexo
. Não há outras condições.
Passo 2
Representação do exponencial complexo e ideia geral da solução.
- Todo número complexo
pode ser escrito como onde . Aqui é a parte real e a parte imaginária. - Para
vale a identidade
Expliquei isso porque vamos igualar módulo e argumento:
é o módulo de
e
determina a direção (argumento) no plano complexo.
Passo 3
Colocar
em forma polar (módulo e argumento).
- Calcule o módulo:
- Calcule um argumento (ângulo): a tangente do ângulo é
, então um ângulo conveniente é . Assim um argumento possível é . - Lembrar que o argumento não é único: se
é argumento então com também é argumento. Portanto podemos escrever
para qualquer
.
Passo 4
Igualar as formas polar de
e de
e resolver para
e
.
- Escrevendo
temos
- Igualando módulo com o módulo de
obtemos
Aqui usei que
e que a função
é a inversa de
em
.
- Igualando a parte angular (argumento), temos que
porque
é
-periódico em
com período
e
.
Passo 5
Escrever a solução geral e verificar rapidamente.
- Portanto todos os
que resolvem a equação são
- Verificação rápida: para tal
,
como desejado.