Determine todos os valores de z \in \mathrm{C} tais que:
e^{z}=1+i \sqrt{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: encontrar todos os números complexos z tais que e^{z}=1+i\sqrt{3}.
  • Informação dada: o lado direito é o número complexo 1+i\sqrt{3}. Não há outras condições.

Passo 2

Representação do exponencial complexo e ideia geral da solução.
  • Todo número complexo z pode ser escrito como z=x+iy onde x,y\in\mathbb{R}. Aqui x é a parte real e y a parte imaginária.
  • Para z=x+iy vale a identidade
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y).
Expliquei isso porque vamos igualar módulo e argumento: e^{x} é o módulo de e^{z} e \cos y+i\sin y determina a direção (argumento) no plano complexo.

Passo 3

Colocar 1+i\sqrt{3} em forma polar (módulo e argumento).
  • Calcule o módulo:
|\,1+i\sqrt{3}\,|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
  • Calcule um argumento (ângulo): a tangente do ângulo é \sqrt{3}/1=\sqrt{3}, então um ângulo conveniente é \pi/3. Assim um argumento possível é \pi/3.
  • Lembrar que o argumento não é único: se \theta é argumento então \theta+2\pi k com k\in\mathbb{Z} também é argumento. Portanto podemos escrever
1+i\sqrt{3}=2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3}+2\pi k)+i\sin(\tfrac{\pi}{3}+2\pi k)\bigr)
para qualquer k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Igualar as formas polar de e^{z} e de 1+i\sqrt{3} e resolver para x e y.
  • Escrevendo z=x+iy temos
e^{z}=e^{x}(\cos y + i\sin y).
  • Igualando módulo com o módulo de 1+i\sqrt{3} obtemos
e^{x}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\ln 2.
Aqui usei que e^{x}>0 e que a função \ln é a inversa de e^{x} em \mathbb{R}.
  • Igualando a parte angular (argumento), temos que
y=\tfrac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z},
porque \cos y+i\sin y é 2-periódico em y com período 2\pi e e^{i(\theta+2\pi k)}=e^{i\theta}.

Passo 5

Escrever a solução geral e verificar rapidamente.
  • Portanto todos os z que resolvem a equação são
z=\ln 2 + i\Bigl(\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\Bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Verificação rápida: para tal z,
e^{z}=e^{\ln 2}\,e^{i(\pi/3+2\pi k)}=2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2\bigl(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=1+i\sqrt{3},
como desejado.

Resposta

\displaystyle z=\ln 2 + i\Bigl(\frac{\pi}{3}+2\pi k\Bigr),\quad k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados