Determine o trabalho para colocar três cargas pontuais ( +q, +q e -q) sobre os vértices de um triangulo equilátero de lados d, se essas cargas
estavam infinitamente afastadas. Tome q e d como os da questão anterior.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para levar três cargas puntuais +q, +q e -q do infinito até os vértices de um triângulo equilátero de lado d. O conteúdo é energia potencial eletrostática e vamos usar que o trabalho do agente externo para montar o sistema é igual à energia potencial final do sistema.

Passo 2

A energia potencial total de um conjunto de cargas puntuais é
U \;=\;\frac12\sum_{i\neq j} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_iQ_j}{r_{ij}}
onde r_{ij} é a distância entre as cargas Q_i e Q_j.

Passo 3

No nosso triângulo equilátero todas as distâncias r_{ij} valem d. As três contribuições são:
  1. Entre as duas cargas positivas: Q_1=+q e Q_2=+q, dá
U_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(+q)(+q)}{d} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{d}.
  1. Entre Q_1=+q e Q_3=-q, dá
U_{13} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(+q)(-q)}{d} =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{d}.
  1. Entre Q_2=+q e Q_3=-q, dá igual a U_{13}:
U_{23} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{d}.

Passo 4

Somando todas as contribuições e lembrando do fator \tfrac12 na fórmula genérica (que evita dupla contagem), temos
U = U_{12}+U_{13}+U_{23} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{d} -2\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{d} =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{d}.

Resposta

W = U = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{d}.

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