Determine o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga de 20 \mu \mathrm{C} por uma distância de 6 \mu \mathrm{~m} na direção de \mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados nos deu.
  • Pede: determinar o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga.
  • Dados fornecidos: a carga é \,q=20\\ \mu\mathrm{C}\, e a distância do deslocamento é \,6\\ \mu\mathrm{m}\, na direção de \mathbf{a}_{\varphi}.
  • Informação implícita (importante): o enunciado não dá um campo elétrico numérico nem uma força numérica; portanto vamos expressar o trabalho em termos da componente adequada do campo ou da força.

Passo 2

Conceito básico: o que é “trabalho incremental”.
  • O trabalho elementar (incremental) realizado por uma força \mathbf{F} para um deslocamento infinitesimal d\mathbf{l} é dado por
dW = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}.
Explanação: o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} pega apenas as componentes da força e do deslocamento na mesma direção; se estiverem perpendiculares, o trabalho é zero. As unidades ficam em joules ( \mathrm{J}) porque \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{J}.

Passo 3

Relacionando força elétrica e campo elétrico (fórmula que usamos) e representando o deslocamento.
  • Se a força que atua na carga é a força elétrica, então \mathbf{F}=q\,\mathbf{E}, onde \mathbf{E} é o campo elétrico (em \mathrm{V/m} ou \mathrm{N/C}). Aqui \,q está em coulombs.
  • O deslocamento dado é na direção \mathbf{a}_{\varphi} com comprimento s=6\\ \mu\mathrm{m}. Para um deslocamento finito pequeno podemos escrever d\mathbf{l}=s\,\mathbf{a}_{\varphi} (ou, se fosse diferencial, d\mathbf{l}=dl\,\mathbf{a}_{\varphi}).
  • Portanto, usando \mathbf{F}=q\mathbf{E},
dW = q\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.

Passo 4

Projetando nas componentes e simplificando para a direção \mathbf{a}_{\varphi}.
  • Se \mathbf{E} tem componente azimutal \,E_{\varphi} (ou seja \mathbf{E}=E_{\varphi}\,\mathbf{a}_{\varphi}+ outras componentes), então a contribuição ao trabalho pelo deslocamento em \mathbf{a}_{\varphi} é
dW = q\,E_{\varphi}\,s.
  • Agora só precisamos substituir q e s numéricos, convertendo unidades para o SI: \,q=20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\, e \,s=6\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\,. Multiplicando:
q\,s = \bigl(20\times10^{-6}\bigr)\bigl(6\times10^{-6}\bigr)\\ \mathrm{C\cdot m} = 1,2\times10^{-10}\\ \mathrm{C\cdot m}.
  • Assim o trabalho incremental (assumindo campo \,E_{\varphi} constante ao longo do pequeno deslocamento) é
dW = 1,2\times10^{-10}\,E_{\varphi}\\ \mathrm{J}.
Explicação de sinais: se você move a carga no sentido do campo, o trabalho realizado pelo campo é positivo; o trabalho que um agente externo deve fazer contra o campo tem sinal oposto. Se preferir relacionar com diferença de potencial, para \,E_{\varphi} constante temos \Delta V = -E_{\varphi}s e o trabalho externo necessário é W_{\text{ext}} = q\Delta V = -qE_{\varphi}s.

Passo 5

Forma alternativa caso seja conhecida a força na direção \mathbf{a}_{\varphi}.
  • Se, em vez do campo, você souber a componente da força \,F_{\varphi} diretamente, o trabalho incremental é simplesmente
dW = F_{\varphi}\,s = F_{\varphi}\,(6\times10^{-6})\\ \mathrm{J}.
Isso é útil quando o problema dá uma força numérica em vez de um campo.

Resposta

dW = 1,2\times10^{-10}\,E_{\varphi}\\ \mathrm{J}

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