Determine a tração em cada um dos cabos para sustentar o candelabro que pesa 487,4 N. Dados theta 1=32^circ, theta 2=40^circ e theta 3=26^circ

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Um candelabro de peso 487,4rm ,N está preso a três cabos que fazem ângulos theta1=32^circ, theta2=40^circ e theta3=26^circ com a horizontal. Determine a tração em cada cabo.”
Isso é puro equilíbrio estático de forças: a soma vetorial das trações tem de anular o peso. Vamos precisar das funções trigonométricas seno e cosseno pra decompor cada tensão em componentes horizontal e vertical, e das condições
  1. sum Fx=0, 2) sum Fy=0 pra ficar paradinho.

Passo 2

Escolhendo um sistema de eixos: eixo x horizontal pra direita e eixo y vertical pra cima. Em planta (visão de cima) os três cabos estão espaçados 120° entre si – mas podemos simplificar:
  • Cabo 1 aponta ao longo de +x.
  • Cabo 2 faz 120° em relação ao cabo 1.
  • Cabo 3 faz 240° em relação ao cabo 1.
Cada tração vec Ti tem:
  • componente horizontal de módulo Ticosthetai ao longo da direção do cabo,
  • componente vertical Tisinthetai pra cima.

Passo 3

Escrevendo as somas das componentes horizontais:
Eixo x:
T1costheta1;-;tfrac12,T2costheta2;-;tfrac12,T3costheta3;=;0
Eixo y (cientificamente, y lateral na planta):
tfracraiz32,T2costheta2;-;tfracraiz32,T3costheta3;=;0
Da segunda equação já dá pra ver que
T2costheta2 ;=;T3costheta3, tag1

Passo 4

Substituindo (1) na eq. de x:
T1costheta1 ;=;tfrac12l(T2costheta2+T3costheta3r) =;tfrac12l(T2costheta2+T2costheta2r) =;T2costheta2
Logo
$$T_1=\frac{\cos\theta_2}{\cos\theta_1};T_2\quade\quad
T_3=\frac{\cos\theta_2}{\cos\theta_3};T_2,. \tag{2}$$

Passo 5

Agora, equilíbrio vertical (somente as componentes verticais das tensões sustentam o peso):
T1sintheta1 ;+;T2sintheta2 ;+;T3sintheta3 ;=;487,4,
Substituindo (2):
$$\frac{\cos\theta_2}{\cos\theta_1}T_2\sin\theta_1
;+;T_2\sin\theta_2
;+;\frac{\cos\theta_2}{\cos\theta_3}T_2\sin\theta_3
;=;487{,}4,. costheta2costheta1T2sintheta1 ;+;T2sintheta2 ;+;costheta2costheta3T2sintheta3 ;=;487,4, T_2\Bigl(\tfrac{\cos\theta_2}{\cos\theta_1}\sin\theta_1
+\sin\theta_2
+\tfrac{\cos\theta_2}{\cos\theta_3}\sin\theta_3\Bigr)
=487{,}4,. T2êãT_2\approx\frac{487{,}4}{1{,}4952}\approx326{,}1\rm ,N,. $$

Passo 6

Usando (2) pra achar T1 e T3:
$$T_1=T_2,\frac{\cos40\circ}{\cos32\circ}
\approx326{,}1\cdot\frac{0{,}7660}{0{,}8480}\approx294{,}6\rm,N,$$
$$T_3=T_2,\frac{\cos40\circ}{\cos26\circ}
\approx326{,}1\cdot\frac{0{,}7660}{0{,}8988}\approx278{,}2\rm,N.$$

Resposta

Tensões aproximadas:
$T_1\approx295\rm,N,\quad T_2\approx326\rm,N,\quad T_3\approx278\rm,N,. $

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