Determine se a transformação linear é injetora, sobrejetora e invertível.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pede para determinar se a transformação linear associada a A é:
  • injetora;
  • sobrejetora;
  • invertível.
Informações dadas:
  • A matriz A tem dimensões \,2\times3 (linha por coluna).
  • A transformação linear associada é T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com T(x)=Ax.
O que se pergunta:
  • Se T é injetora (ou seja, se \ker(T)=\{0\});
  • Se T é sobrejetora (ou seja, se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2);
  • Se T é invertível (ou seja, se existe T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 linear).]

Passo 2

Vamos encontrar o posto (rank) de A. O posto é o número de colunas linearmente independentes (ou número de pivôs na forma escalonada). Observando as linhas de A:
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix},
já está em forma escalonada: há um pivô em \text{coluna }1 (porque o primeiro elemento da primeira linha é 1) e outro pivô em \text{coluna }2 (porque na segunda linha o primeiro não nulo aparece na coluna 2). As duas linhas não são múltiplos uma da outra, logo são linearmente independentes.
Portanto o posto de A é
\operatorname{rank}(A)=2.]

Passo 3

Aplicando o Teorema da Dimensão (rank-nullity) para a transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2:
\dim(\mathbb{R}^3)=3=\operatorname{rank}(A)+\dim(\ker(A)).
Como \operatorname{rank}(A)=2, segue que
\dim(\ker(A))=3-2=1.
Isso significa que o núcleo (kernel) de A tem dimensão 1, ou seja, há vetores não-nulos que vão para 0.

Passo 4

Vamos resolver explicitamente Ax=0\) para encontrar uma base do núcleo e ver a forma dos vetores nulos. Seja \(x=(x_1,x_2,x_3)^\top\). O sistema \(Ax=0\) é \[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos x_2 = -x_3\]. Substituindo na primeira: \[x_1 + (-x_3) + x_3 = x_1 = 0.\] Logo \(x_1=0 e x_2=-x_3. Tomando parâmetro t=x_3, obtemos
x = \begin{pmatrix}0\\[4pt]-t\\[4pt]t\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Assim uma base do núcleo é \{(0,-1,1)^\top\}, confirmando \dim(\ker(A))=1.]

Passo 5

Conclusão sobre injetividade: uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo é \{0\}. Aqui \ker(A) contém vetores não-nulos (por exemplo (0,-1,1)^\top), então T não é injetora.
Explicação prática: existem vetores distintos em \mathbb{R}^3 que a transformação envia para o mesmo vetor em \mathbb{R}^2 (por exemplo 0 e (0,-1,1)^\top são enviados ambos para 0), portanto não é injetora.

Passo 6

Conclusão sobre sobrejetividade: a imagem de T tem dimensão igual ao posto de A, ou seja \dim(\operatorname{Im}(T))=\operatorname{rank}(A)=2. O contradomínio é \mathbb{R}^2, que tem dimensão 2. Como as dimensões coincidem e \operatorname{Im}(T) é subespaço de \mathbb{R}^2, segue que
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
Portanto T é sobrejetora.
Comentário intuitivo: apesar de partir de um espaço maior \mathbb{R}^3, a transformação consegue atingir todo \mathbb{R}^2 porque o posto é maximal em relação ao codomínio (igual a 2).

Passo 7

Conclusão sobre invertibilidade: uma transformação linear é invertível (tem inversa linear) somente se for bijetora, isto é, simultaneamente injetora e sobrejetora, o que só pode ocorrer entre espaços de mesma dimensão. Aqui T não é injetora (Passo 5), embora seja sobrejetora (Passo 6). Além disso, a matriz A não é quadrada ( 2\times3), então não existe matriz inversa quadrada A^{-1}.
Portanto T não é invertível.

Resposta

Injetora: não
Sobrejetora: sim
Invertível: não

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