Determine uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} \mathrm{em} \mathbb{R}^{3}, tal que: Faz a simetria em relação ao plano x+y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que realize a simetria (reflexão) em relação ao plano
x + y + z = 0.
O conteúdo aqui é usar a fórmula da reflexão de um vetor em torno de um plano definido pelo seu vetor normal.

Passo 2

Seja \mathbf{n}=(1,1,1) um vetor normal ao plano x+y+z=0. A projeção de um vetor \mathbf{v} em \mathbb{R}^3 sobre \mathbf{n} é
\mathrm{proj}_{\mathbf{n}}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}}\,\mathbf{n}.
Para refletir \mathbf{v} em relação ao plano, subtrai-se duas vezes essa projeção de \mathbf{v}:
T(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \;-\; 2\,\mathrm{proj}_{\mathbf{n}}(\mathbf{v}).

Passo 3

Calculemos \mathbf{n}\cdot \mathbf{n}:
\mathbf{n}\cdot \mathbf{n} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3.
Logo
\mathrm{proj}_{\mathbf{n}}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}}{3}\,\mathbf{n}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de reflexão:
T(\mathbf{v}) = \mathbf{v} - 2\,\frac{\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}}{3}\,\mathbf{n} = \mathbf{v} - \frac{2}{3}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v})\,\mathbf{n}.

Passo 5

Para obter a matriz de T na base canônica, note que
(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v})\,\mathbf{n} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} \bigl(1\;1\;1\bigr)\mathbf{v} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}(1\;1\;1) \begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix}.
Portanto,
T = I - \frac{2}{3} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}(1\;1\;1) = I - \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

T(\mathbf{x}) = M\,\mathbf{x}, \qquad M = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3}\\[6pt] -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\\[6pt] -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}
que é a matriz da simetria em relação ao plano x+y+z=0.]

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