Determine a transformação linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3}, tal que:
  • ( 1,1,1 ) é um autovetor associado ao autovalor 3.
  • ( 1,0,-1 ) é um autovetor associado ao autovalor 2 e
  • (1,-2,1) é um autovetor associado ao autovalor 6.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
que tenha como autovetores
v_{1}=(1,1,1) com autovalor 3,
v_{2}=(1,0,-1) com autovalor 2 e
v_{3}=(1,-2,1) com autovalor 6.
Note que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}, pois esses vetores são linearmente independentes. Vamos usar o fato de que, na base \{v_{1},v_{2},v_{3}\}, a matriz de T é diagonal com entradas 3,2,6; em seguida voltamos à base padrão usando mudança de base.

Passo 2

Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores v_{1},v_{2},v_{3} e a matriz diagonal D dos autovalores:
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & -2\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad,\quad D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.
Então, na base padrão, a matriz de T é
A \;=\; P\,D\,P^{-1}.

Passo 3

Calculamos \det P e P^{-1}.
O determinante é
\det P =\begin{vmatrix} 1&1&1\\\\ 1&0&-2\\\\ 1&-1&1 \end{vmatrix} =-6,
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P^{-1} =-\tfrac{1}{6}\, \mathrm{adj}(P) = \begin{pmatrix} \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13\\\ \tfrac12 & 0 & -\tfrac12\\\ \tfrac16 & -\tfrac13 & \tfrac16 \end{pmatrix}.

Passo 4

Primeiro calculamos P\,D, que escala cada coluna de P:
P\,D =\bigl[\,3v_{1}\,,\,2v_{2}\,,\,6v_{3}\bigr] = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 6\\\\ 3 & 0 & -12\\\\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix}.
Agora multiplicamos por P^{-1}:
A =(P\,D)\,P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 6\\\\ 3 & 0 & -12\\\\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13\\\ \tfrac12 & 0 & -\tfrac12\\\ \tfrac16 & -\tfrac13 & \tfrac16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ -1 & 5 & -1\\\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Portanto a transformação T na base canônica vem dada pela matriz
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ -1 & 5 & -1\\\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix},
isto é, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},
T(x,y,z) =\bigl(3x - y + z,\,-x + 5y - z,\;x - y + 3z\bigr).

Resposta

A matriz de T na base padrão é
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ -1 & 5 & -1\\\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix},
ou seja \;T(x,y,z)=(3x-y+z,\,-x+5y-z,\;x-y+3z).

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