Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
T(1,0)=(3,-1,2) \quad \text { e } \quad T(0,1)=(-2,0,5)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} que satisfaz as duas condições abaixo:
T(1,0)=(3,-1,2)
T(0,1)=(-2,0,5)
Informações relevantes dadas:
  • O domínio é \mathbb{R}^{2} e o contradomínio é \mathbb{R}^{3}.
  • Foram fornecidas as imagens dos vetores (1,0) e (0,1), que são exatamente os vetores da base padrão de \mathbb{R}^{2}.
  • O que se quer: uma expressão explícita para T (por exemplo, T(x,y) para um vetor genérico (x,y)) ou a matriz que representa T na base padrão.

Passo 2

Primeiro um lembrete importante (com calma, sem pânico): uma transformação T é linear quando satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v e escalar c:
T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(cu)=c\,T(u).
Uma consequência prática e muito útil disso é que, se conhecemos T em uma base do domínio, sabemos T para qualquer vetor do domínio. No caso da \mathbb{R}^{2} a base padrão é \{(1,0),(0,1)\}. Qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear:
(x,y)=x\,(1,0)+y\,(0,1).
Pela linearidade de T segue:
T(x,y)=T\big(x(1,0)+y(0,1)\big)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1).
Isso é o que vamos usar: expressar T(x,y) em termos de T(1,0) e T(0,1).

Passo 3

Agora aplicamos a relação da linearidade usando as imagens fornecidas. Substituindo T(1,0)=(3,-1,2) e T(0,1)=(-2,0,5) na expressão anterior obtemos, para um vetor genérico (x,y),
T(x,y)=x\,(3,-1,2)+y\,(-2,0,5).
Vamos somar componente a componente (explicando passo a passo):
  • Primeira componente: 3x + (-2)y = 3x-2y.
  • Segunda componente: (-1)x + 0\cdot y = -x.
  • Terceira componente: 2x + 5y.
Portanto
T(x,y)=(3x-2y,\;-x,\;2x+5y).

Passo 4

Outra forma muito usual de apresentar uma transformação linear é pela sua matriz em relação às bases padrões. A matriz A que representa T tem colunas iguais às imagens dos vetores da base do domínio. Assim:
A=\begin{pmatrix} \;T(1,0)\;&\;T(0,1)\; \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & -2\\[4pt] -1 & 0\\[4pt] 2 & 5 \end{pmatrix},
uma matriz de tamanho 3\times2. Para verificar que essa matriz age corretamente, multiplicamos A pelo vetor coluna (x,y):
\begin{pmatrix} 3 & -2\\[4pt] -1 & 0\\[4pt] 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\[4pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x-2y\\[4pt] - x\\[4pt] 2x+5y \end{pmatrix},
que confere com a expressão que encontramos em componentes.]

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar: se quisermos calcular T(2,3) usamos a fórmula
T(2,3)=(3\cdot 2-2\cdot 3,\; -2,\; 2\cdot 2+5\cdot 3)=(6-6,\;-2,\;4+15)=(0,\,-2,\;19).
Isso mostra como aplicar na prática: é só multiplicar e somar componente a componente.

Resposta

T(x,y)=(3x-2y,\;-x,\;2x+5y).
\text{Matriz de }T=\begin{pmatrix} 3 & -2\\[4pt] -1 & 0\\[4pt] 2 & 5 \end{pmatrix}]

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