Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
T(1,0)=(3,-1,2) \quad \text { e } \quad T(0,1)=(-2,0,5)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} que satisfaz as duas condições abaixo:
T(1,0)=(3,-1,2)
T(0,1)=(-2,0,5)
Informações relevantes dadas:
O domínio é \mathbb{R}^{2} e o contradomínio é \mathbb{R}^{3}.
Foram fornecidas as imagens dos vetores (1,0) e (0,1), que são exatamente os vetores da base padrão de \mathbb{R}^{2}.
O que se quer: uma expressão explícita para T (por exemplo, T(x,y) para um vetor genérico (x,y)) ou a matriz que representa T na base padrão.
Passo 2
Primeiro um lembrete importante (com calma, sem pânico): uma transformação T é linear quando satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v e escalar c:
T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(cu)=c\,T(u).
Uma consequência prática e muito útil disso é que, se conhecemos T em uma base do domínio, sabemos T para qualquer vetor do domínio. No caso da \mathbb{R}^{2} a base padrão é \{(1,0),(0,1)\}. Qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear:
Isso é o que vamos usar: expressar T(x,y) em termos de T(1,0) e T(0,1).
Passo 3
Agora aplicamos a relação da linearidade usando as imagens fornecidas. Substituindo T(1,0)=(3,-1,2) e T(0,1)=(-2,0,5) na expressão anterior obtemos, para um vetor genérico (x,y),
T(x,y)=x\,(3,-1,2)+y\,(-2,0,5).
Vamos somar componente a componente (explicando passo a passo):
Primeira componente: 3x + (-2)y = 3x-2y.
Segunda componente: (-1)x + 0\cdot y = -x.
Terceira componente: 2x + 5y.
Portanto
T(x,y)=(3x-2y,\;-x,\;2x+5y).
Passo 4
Outra forma muito usual de apresentar uma transformação linear é pela sua matriz em relação às bases padrões. A matriz A que representa T tem colunas iguais às imagens dos vetores da base do domínio. Assim: