Considere T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
T(x, y)=(4 x-y, 2 x+3 y) .
Mostre que T é uma transformação linear e determine a matriz associada a T na base canônica.

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(4x-y,\;2x+3y).
Pede-se:
  • Mostrar que T é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades que definem linearidade).
  • Determinar a matriz associada a T na base canônica de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Relembrando a definição (rápida e direta): T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Aqui u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2) representam vetores genéricos em \mathbb{R}^2 e c é um número real. Vou verificar as duas propriedades diretamente usando a fórmula dada para T.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório,
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(4(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)\bigr).
Distribuindo os produtos e somas:
T(u+v)=\bigl(4x_1-y_1 + 4x_2-y_2,\; 2x_1+3y_1 + 2x_2+3y_2\bigr).
Agora escrevendo T(u) e T(v) separadamente:
T(u)=(4x_1-y_1,\;2x_1+3y_1),\qquad T(v)=(4x_2-y_2,\;2x_2+3y_2).
Somando termo a termo:
T(u)+T(v)=(4x_1-y_1 + 4x_2-y_2,\;2x_1+3y_1 + 2x_2+3y_2).
Comparando com T(u+v) acima, vemos que os dois são iguais, logo
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(cu)=c\,T(u).
Seja u=(x,y) e c\in\mathbb{R}. Temos
cu=(cx,\;cy).
Aplicando T,
T(cu)=T(cx,cy) = \bigl(4(cx)-(cy),\;2(cx)+3(cy)\bigr).
Fatorando c em cada componente:
T(cu)=\bigl(c(4x-y),\;c(2x+3y)\bigr)=c\,(4x-y,\;2x+3y).
Mas (4x-y,\;2x+3y)=T(x,y), portanto
T(cu)=c\,T(u).

Passo 5

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores e escalares arbitrários, concluímos que T é linear.

Passo 6

Agora vou determinar a matriz associada a T na base canônica. Lembrete importante (motivo prático): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a matriz na base canônica tem suas colunas dadas por T(e_1) e T(e_2), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Isso vem do fato de que qualquer vetor (x,y) se escreve como x e_1 + y e_2 e, pela linearidade,
T(x,y)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2),
o que corresponde exatamente à multiplicação da matriz cujas colunas são T(e_1),T(e_2) pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

Passo 7

Calculemos T(e_1) e T(e_2).
Para e_1=(1,0):
T(1,0)=(4\cdot 1-0,\;2\cdot 1+3\cdot 0)=(4,\;2).
Para e_2=(0,1):
T(0,1)=(4\cdot 0-1,\;2\cdot 0+3\cdot 1)=(-1,\;3).
Portanto, a matriz de T na base canônica (colocando T(e_1) como primeira coluna e T(e_2) como segunda) é
A=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (checar coerência): multiplicando A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} obtemos
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4x-1\cdot y\\[4pt] 2x+3y\end{pmatrix} = (4x-y,\;2x+3y),
que é justamente T(x,y). Então a matriz está correta.]

Resposta

T é uma transformação linear.
\begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}

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