Considere
definida por
Mostre que
é uma transformação linear e determine a matriz associada a
na base canônica.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
Pede-se:
- Mostrar que
é uma transformação linear (ou seja, verificar as propriedades que definem linearidade). - Determinar a matriz associada a
na base canônica de .
Passo 2
Relembrando a definição (rápida e direta):
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem
e
Aqui
,
representam vetores genéricos em
e
é um número real. Vou verificar as duas propriedades diretamente usando a fórmula dada para
.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Seja
e
. Então
Aplicando
ao somatório,
Distribuindo os produtos e somas:
Agora escrevendo
e
separadamente:
Somando termo a termo:
Comparando com
acima, vemos que os dois são iguais, logo
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Seja
e
. Temos
Aplicando
,
Fatorando
em cada componente:
Mas
, portanto
Passo 5
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores e escalares arbitrários, concluímos que
é linear.
Passo 6
Agora vou determinar a matriz associada a
na base canônica. Lembrete importante (motivo prático): para uma transformação linear
, a matriz na base canônica tem suas colunas dadas por
e
, onde
e
. Isso vem do fato de que qualquer vetor
se escreve como
e, pela linearidade,
o que corresponde exatamente à multiplicação da matriz cujas colunas são
pelo vetor coluna
.
Passo 7
Calculemos
e
.
Para
:
Para
:
Portanto, a matriz de
na base canônica (colocando
como primeira coluna e
como segunda) é
Passo 8
Verificação rápida (checar coerência): multiplicando
pelo vetor coluna
obtemos
que é justamente
. Então a matriz está correta.]