Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções racionais:
X(s)=\frac{222}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+40\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
X(s)=\frac{222}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+40\right)}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é X(s) acima.
  • A tarefa é encontrar x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}, função no domínio do tempo (presumo t\ge0).
    Não há outras perguntas; vamos calcular x(t).

Passo 2

Qual método usar? Para frações racionais com um fator linear e um quadrático irreduzível (como aqui), o método padrão é decompor em frações parciais. Depois, usar transformadas inversas conhecidas (exponenciais, cosseno e seno amortecidos). Vou montar a decomposição do tipo
\frac{222}{(s+3)(s^{2}+4s+40)}=\frac{A}{s+3}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4s+40},
onde A,B,C são constantes a achar.
Antes de decompor, resumo rápido das transformadas inversas que vou usar (essas são fórmulas essenciais — presta atenção):
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.
    Aqui a é a constante de deslocamento no eixo s, e t é tempo.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+\omega^{2}}\right\}=e^{-a t}\cos(\omega t).
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}}\right\}=e^{-a t}\sin(\omega t).
Observação: se aparecer \dfrac{1}{(s+a)^2+\omega^2} é conveniente escrever como \dfrac{1}{\omega}\cdot\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} para usar a transformada do seno.

Passo 3

Agora vou equacionar a decomposição parcial. Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s^{2}+4s+40) obtemos
222 = A\bigl(s^{2}+4s+40\bigr) + (Bs+C)(s+3).
Vou expandir o lado direito e agrupar coeficientes em potências de s.
Expansão:
A s^{2}+4A s+40A + (Bs+C)(s+3)=A s^{2}+4A s+40A + B s^{2} + (3B+C)s + 3C.
Agrupando termos em s^{2},s,1:
(A+B)s^{2} + (4A+3B+C)s + (40A+3C) = 222.
Como o lado esquerdo deve ser igual ao número constante 222 para todo s, os coeficientes de s^{2} e s devem ser zero, e o termo constante deve ser 222. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 4A+3B+C=0,\\[4pt] 40A+3C=222. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema. Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
4A+3(-A)+C=0 \quad\Rightarrow\quad A+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-A.
Substituindo C=-A na terceira:
40A+3(-A)=222 \quad\Rightarrow\quad 37A=222 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{222}{37}=6,
porque 37\cdot6=222. Então
A=6,\qquad B=-6,\qquad C=-6.

Passo 5

Reescrevendo a decomposição com esses valores:
X(s)=\frac{6}{s+3}+\frac{-6s-6}{s^{2}+4s+40} = \frac{6}{s+3} -6\cdot\frac{s+1}{s^{2}+4s+40}.
Para usar as fórmulas do passo 2, completo o quadrado no denominador quadrático:
s^{2}+4s+40=(s^{2}+4s+4)+36=(s+2)^{2}+36.
Também escrevo o numerador s+1 em função de s+2:
s+1=(s+2)-1.
Assim
-6\cdot\frac{s+1}{(s+2)^{2}+36}=-6\left(\frac{s+2}{(s+2)^{2}+36}-\frac{1}{(s+2)^{2}+36}\right).
Portanto
X(s)=\frac{6}{s+3} -6\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+36} +6\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+36}.

Passo 6

Agora aplico as transformadas inversas termo a termo, usando as fórmulas do passo 2. Identifico \omega^{2}=36\Rightarrow\omega=6 e a=2 no termo deslocado.
  • Primeiro termo: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{6}{s+3}\right\}=6e^{-3t}.
  • Segundo termo: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-6\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+6^{2}}\right\}=-6e^{-2t}\cos(6t).
    Aqui usei a forma \dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\mapsto e^{-at}\cos(\omega t).
  • Terceiro termo: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{6\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+6^{2}}\right\}.
    Para usar a forma do seno, escrevo \dfrac{1}{(s+2)^{2}+6^{2}}=\dfrac{1}{6}\cdot\frac{6}{(s+2)^{2}+6^{2}}. Então 6\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+6^{2}}=6\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{(s+2)^{2}+6^{2}}=1\cdot\frac{6}{(s+2)^{2}+6^{2}},e portanto a transformada inversa é e^{-2t}\sin(6t), pois \dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\mapsto e^{-at}\sin(\omega t).
Somando as três partes:
x(t)=6e^{-3t}-6e^{-2t}\cos(6t)+e^{-2t}\sin(6t),\qquad t\ge0.

Passo 7

Pequena checagem de consistência (não obrigatória, mas reconfortante): as unidades (se fossem) e decaimentos exponenciais fazem sentido; a decomposição produziu coeficientes inteiros simples 6,-6,1 e a frequência \omega=6 veio de \sqrt{36}, tudo consistente.

Resposta

x(t)=6e^{-3t}-6e^{-2t}\cos(6t)+e^{-2t}\sin(6t)

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