Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções racionais: X(s)=\frac{222}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+40\right)}
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
X(s)=\frac{222}{(s+3)\left(s^{2}+4 s+40\right)}.
Informações dadas:
A função no domínio de s é X(s) acima.
A tarefa é encontrar x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}, função no domínio do tempo (presumo t\ge0).
Não há outras perguntas; vamos calcular x(t).
Passo 2
Qual método usar? Para frações racionais com um fator linear e um quadrático irreduzível (como aqui), o método padrão é decompor em frações parciais. Depois, usar transformadas inversas conhecidas (exponenciais, cosseno e seno amortecidos). Vou montar a decomposição do tipo
Observação: se aparecer \dfrac{1}{(s+a)^2+\omega^2} é conveniente escrever como \dfrac{1}{\omega}\cdot\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} para usar a transformada do seno.
Passo 3
Agora vou equacionar a decomposição parcial. Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s^{2}+4s+40) obtemos
222 = A\bigl(s^{2}+4s+40\bigr) + (Bs+C)(s+3).
Vou expandir o lado direito e agrupar coeficientes em potências de s.
Expansão:
A s^{2}+4A s+40A + (Bs+C)(s+3)=A s^{2}+4A s+40A + B s^{2} + (3B+C)s + 3C.
Agrupando termos em s^{2},s,1:
(A+B)s^{2} + (4A+3B+C)s + (40A+3C) = 222.
Como o lado esquerdo deve ser igual ao número constante 222 para todo s, os coeficientes de s^{2} e s devem ser zero, e o termo constante deve ser 222. Assim obtemos o sistema:
Agora aplico as transformadas inversas termo a termo, usando as fórmulas do passo 2. Identifico \omega^{2}=36\Rightarrow\omega=6 e a=2 no termo deslocado.
Primeiro termo: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{6}{s+3}\right\}=6e^{-3t}.
Segundo termo: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-6\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+6^{2}}\right\}=-6e^{-2t}\cos(6t).
Aqui usei a forma \dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\mapsto e^{-at}\cos(\omega t).
Terceiro termo: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{6\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+6^{2}}\right\}.
Para usar a forma do seno, escrevo \dfrac{1}{(s+2)^{2}+6^{2}}=\dfrac{1}{6}\cdot\frac{6}{(s+2)^{2}+6^{2}}. Então6\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+6^{2}}=6\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{(s+2)^{2}+6^{2}}=1\cdot\frac{6}{(s+2)^{2}+6^{2}},e portanto a transformada inversa é e^{-2t}\sin(6t), pois \dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\mapsto e^{-at}\sin(\omega t).
Pequena checagem de consistência (não obrigatória, mas reconfortante): as unidades (se fossem) e decaimentos exponenciais fazem sentido; a decomposição produziu coeficientes inteiros simples 6,-6,1 e a frequência \omega=6 veio de \sqrt{36}, tudo consistente.