Calcule
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função dada abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede
, ou seja, encontrar a função de tempo cuja transformada de Laplace é
. Vou listar claramente o que é pedido:
- Dado:
. - Pedido: calcular
(função de tempo, usualmente considerada para ).
Passo 2
Lembrar da propriedade básica (par casal que usamos direto): para inteiro não-negativo
vale
Explicando por que isso é verdade (passo a passo curto): fazer a mudança de variável
. Então
e
. Substituindo na integral,
A integral
é a função Gamma avaliada em
, isto é
, e para inteiro
temos
. Assim aparece
.
Passo 3
Agora compare com o que temos:
. Reescrevendo na forma
vemos que o expoente no denominador é
, logo
Pelo par transforma do passo anterior,
. Portanto a transformada inversa de
é proporcional a
.
Passo 4
Encontrar a constante de proporcionalidade: como
temos
Passo 5
Calcular
:
. Então a função no domínio do tempo (para
) fica
Se quiser escrever explicitando causalidade usando a função degrau unitário
, pode-se escrever
. Mas, tradicionalmente, a inversa unilateral de Laplace é dada para
.
Passo 6
Alguns exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
. -
. -
(o caso resolvido).
Força aí — essa classe de pares é muito prática na prova: sempre que aparecer
pensa em
.