Calcule x(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função dada abaixo.
X(s)=\frac{1}{s^{5}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
X(s)=\frac{1}{s^{5}}
e pede x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}, ou seja, encontrar a função de tempo cuja transformada de Laplace é X(s). Vou listar claramente o que é pedido:
  • Dado: X(s)=\dfrac{1}{s^{5}}.
  • Pedido: calcular x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} (função de tempo, usualmente considerada para t\ge0).

Passo 2

Lembrar da propriedade básica (par casal que usamos direto): para inteiro não-negativo n vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-st}\,dt=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad s>0.
Explicando por que isso é verdade (passo a passo curto): fazer a mudança de variável u=st. Então t=\dfrac{u}{s} e dt=\dfrac{du}{s}. Substituindo na integral,
\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{u}{s}\right)^{n}e^{-u}\frac{du}{s}=s^{-(n+1)}\int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}\,du.
A integral \int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}\,du é a função Gamma avaliada em n+1, isto é \Gamma(n+1), e para inteiro n temos \Gamma(n+1)=n!. Assim aparece \dfrac{n!}{s^{n+1}}.

Passo 3

Agora compare com o que temos: X(s)=\dfrac{1}{s^{5}}. Reescrevendo na forma \dfrac{n!}{s^{n+1}} vemos que o expoente no denominador é n+1=5, logo
n=4.
Pelo par transforma do passo anterior, \mathcal{L}\{t^{4}\}=\dfrac{4!}{s^{5}}. Portanto a transformada inversa de \dfrac{1}{s^{5}} é proporcional a t^{4}.

Passo 4

Encontrar a constante de proporcionalidade: como
\mathcal{L}\{t^{4}\}=\frac{4!}{s^{5}},
temos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{5}}\right\}=\frac{t^{4}}{4!}.

Passo 5

Calcular 4!: 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. Então a função no domínio do tempo (para t\ge0) fica
x(t)=\frac{t^{4}}{24}.
Se quiser escrever explicitando causalidade usando a função degrau unitário u(t), pode-se escrever x(t)=\dfrac{t^{4}}{24}u(t). Mas, tradicionalmente, a inversa unilateral de Laplace é dada para t\ge0.

Passo 6

Alguns exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}}\}=t.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{3}}\}=\tfrac{t^{2}}{2}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{5}}\}=\tfrac{t^{4}}{24} (o caso resolvido).
Força aí — essa classe de pares é muito prática na prova: sempre que aparecer 1/s^{n+1} pensa em t^{n}/n!.

Resposta

\displaystyle x(t)=\frac{t^{4}}{24}

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