Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções racionais:
G(s)=\frac{s^{2}-3}{\left(s^{2}-s-6\right)\left(s^{2}+2 s+5\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
G(s)=\frac{s^{2}-3}{\left(s^{2}-s-6\right)\left(s^{2}+2s+5\right)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \,s^{2}-3\,.
  • O denominador é o produto de dois quadráticos: \,s^{2}-s-6\, e \,s^{2}+2s+5\,.
  • Observação útil (extraída diretamente da expressão do denominador): \,s^{2}-s-6=(s-3)(s+2)\, e \,s^{2}+2s+5 é um quadrático irreducível (pois o discriminante é negativo).
  • O que é pedido: encontrar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t).

Passo 2

Estratégia de resolução (explicada didaticamente): para inverter a transformada de Laplace de uma função racional desse tipo, é muito prático decompor G(s) em frações parciais. Assim cada parcela corresponde a uma transformada direta conhecida cuja inversa é simples (ex.: termos \dfrac{1}{s-a}, \dfrac{s+b}{(s+b)^{2}+\omega^{2}}, \dfrac{\omega}{(s+b)^{2}+\omega^{2}}, etc.).\n
Vamos escrever a decomposição parcial com constantes a determinar:
\frac{s^{2}-3}{(s-3)(s+2)(s^{2}+2s+5)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2}+\frac{Cs+D}{s^{2}+2s+5}.
Aqui A,B,C,D são constantes reais a encontrar. Explicando por que essa forma: os fatores lineares recebem termos do tipo \dfrac{\text{const}}{s-\text{raiz}} e o quadrático irreduzível recebe um numerador linear Cs+D.

Passo 3

Encontrar A e B usando substituições diretas (método das raízes): multiplica-se a igualdade por (s-3)(s+2)(s^{2}+2s+5) e avalia-se em s=3 e s=-2, que anulam dois termos cada um e isolam A e B.
Depois da multiplicação obtemos
s^{2}-3 = A(s+2)(s^{2}+2s+5)+B(s-3)(s^{2}+2s+5)+(Cs+D)(s-3)(s+2).
  • Avaliando em s=3:
3^{2}-3 = 6 = A\cdot(3+2)\cdot(3^{2}+2\cdot3+5)=A\cdot 5\cdot 20=100A,
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A=\frac{6}{100}=\frac{3}{50}.
  • Avaliando em s=-2:
(-2)^{2}-3=1 = B\cdot(-2-3)\cdot((-2)^{2}+2(-2)+5)=B\cdot(-5)\cdot 5=-25B,
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B=-\frac{1}{25}.

Passo 4

Encontrar C e D por comparação de coeficientes (explicando passo a passo).
Primeiro escrevemos explicitamente as partes já conhecidas. Expansão de A(s+2)(s^{2}+2s+5):
(s+2)(s^{2}+2s+5)=s^{3}+4s^{2}+9s+10,
portanto
A(s+2)(s^{2}+2s+5)=A s^{3}+4A s^{2}+9A s+10A.
Expansão de B(s-3)(s^{2}+2s+5):
(s-3)(s^{2}+2s+5)=s^{3}-s^{2}-s-15,
portanto
B(s-3)(s^{2}+2s+5)=B s^{3}-B s^{2}-B s-15B.
E (Cs+D)(s-3)(s+2)=(Cs+D)(s^{2}-s-6). Expandindo:
(Cs+D)(s^{2}-s-6)=C s^{3}+(-C+D)s^{2}+(-6C-D)s-6D.
Somando tudo e igualando aos coeficientes do polinômio à esquerda s^{2}-3 = 0\cdot s^{3}+1\cdot s^{2}+0\cdot s -3, obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
Coeficiente de s^{3}:
A+B+C=0.
Coeficiente de s^{2}:
4A - B +(-C+D)=1.
Coeficiente de s^{1}:
9A - B +(-6C - D)=0.
Constante:
10A -15B -6D = -3.
Agora substituímos A=\dfrac{3}{50} e B=-\dfrac{1}{25}.
  • Da primeira equação:
C = -A - B = -\frac{3}{50}-\left(-\frac{1}{25}\right) = -\frac{3}{50}+\frac{2}{50}=-\frac{1}{50}.
  • Usando a equação do coeficiente de s^{2} para achar D. Calculemos 4A - B:
4A - B = 4\cdot\frac{3}{50} - \left(-\frac{1}{25}\right)=\frac{12}{50}+\frac{2}{50}=\frac{14}{50}=\frac{7}{25}.
Então
\frac{14}{50} +(-C+D)=1.
Como C=-\dfrac{1}{50}, segue -C+D=\dfrac{1}{50}+D. Assim
\frac{14}{50}+\frac{1}{50}+D=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{15}{50}+D=1 \quad\Rightarrow\quad D=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.
Verificação rápida usando a equação do termo em s: com esses valores a equação dá zero (confirmação interna). Portanto
C=-\frac{1}{50},\qquad D=\frac{7}{10}.

Passo 5

Reescrever a parcela associada ao quadrático de forma conveniente para a inversa. Primeiro note que
s^{2}+2s+5=(s+1)^{2}+4.
O termo correspondente na decomposição parcial é
\frac{Cs+D}{s^{2}+2s+5}=\frac{-\tfrac{1}{50}s+\tfrac{7}{10}}{(s+1)^{2}+4}.
Para usar as fórmulas padrão convém escrever o numerador em termos de s+1. Observe que
-\frac{1}{50}s+\frac{7}{10} = -\frac{1}{50}(s+1) +\left(\frac{7}{10}+\frac{1}{50}\right).
Calculemos a constante restante:
\frac{7}{10}+\frac{1}{50}=\frac{35}{50}+\frac{1}{50}=\frac{36}{50}=\frac{18}{25}.
Portanto
\frac{Cs+D}{s^{2}+2s+5} = -\frac{1}{50}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4} + \frac{18}{25}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 6

Aplicar as transformadas inversas conhecidas (aqui explico cada fórmula usada):
  • Fórmula básica:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at}.
Significa que um termo \dfrac{1}{s-3} vira e^{3t} e \dfrac{1}{s+2} vira e^{-2t}.
  • Para termos com quadrático completado: se \omega>0,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+b}{(s+b)^{2}+\omega^{2}}\right\}(t)=e^{-bt}\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\omega}{(s+b)^{2}+\omega^{2}}\right\}(t)=e^{-bt}\sin(\omega t).
No nosso caso b=1 e \omega=2 (porque (s+1)^{2}+4=(s+1)^{2}+2^{2}).
Agora aplicamos termo a termo à decomposição completa:
G(s)=\frac{3}{50}\cdot\frac{1}{s-3}-\frac{1}{25}\cdot\frac{1}{s+2} -\frac{1}{50}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}+\frac{18}{25}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+4}.
Tomando inversa de Laplace:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{50}\cdot\frac{1}{s-3}\right\}= \frac{3}{50}e^{3t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{25}\cdot\frac{1}{s+2}\right\}= -\frac{1}{25}e^{-2t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{50}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}\right\}= -\frac{1}{50}e^{-t}\cos(2t).
  • Para o último termo escrevemos \dfrac{1}{(s+1)^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{(s+1)^{2}+2^{2}}, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{18}{25}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+4}\right\} = \frac{18}{25}\cdot\frac{1}{2} e^{-t}\sin(2t) = \frac{9}{25}e^{-t}\sin(2t).
Somando tudo, obtemos g(t).

Resposta

g(t)=\frac{3}{50}e^{3t}-\frac{1}{25}e^{-2t}-\frac{1}{50}e^{-t}\cos(2t)+\frac{9}{25}e^{-t}\sin(2t).

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