Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é o produto de dois quadráticos:
e . - Observação útil (extraída diretamente da expressão do denominador):
e é um quadrático irreducível (pois o discriminante é negativo). - O que é pedido: encontrar
.
Passo 2
Estratégia de resolução (explicada didaticamente): para inverter a transformada de Laplace de uma função racional desse tipo, é muito prático decompor
em frações parciais. Assim cada parcela corresponde a uma transformada direta conhecida cuja inversa é simples (ex.: termos
,
,
, etc.).\n
Vamos escrever a decomposição parcial com constantes a determinar:
Vamos escrever a decomposição parcial com constantes a determinar:
Aqui
são constantes reais a encontrar. Explicando por que essa forma: os fatores lineares recebem termos do tipo
e o quadrático irreduzível recebe um numerador linear
.
Passo 3
Encontrar
e
usando substituições diretas (método das raízes): multiplica-se a igualdade por
e avalia-se em
e
, que anulam dois termos cada um e isolam
e
.
Depois da multiplicação obtemos
- Avaliando em
:
logo
- Avaliando em
:
logo
Passo 4
Encontrar
e
por comparação de coeficientes (explicando passo a passo).
Primeiro escrevemos explicitamente as partes já conhecidas. Expansão de
:
portanto
Expansão de
:
portanto
E
. Expandindo:
Somando tudo e igualando aos coeficientes do polinômio à esquerda
, obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Constante:
Agora substituímos
e
.
- Da primeira equação:
- Usando a equação do coeficiente de
para achar . Calculemos :
Então
Como
, segue
. Assim
Verificação rápida usando a equação do termo em
: com esses valores a equação dá zero (confirmação interna). Portanto
Passo 5
Reescrever a parcela associada ao quadrático de forma conveniente para a inversa. Primeiro note que
O termo correspondente na decomposição parcial é
Para usar as fórmulas padrão convém escrever o numerador em termos de
. Observe que
Calculemos a constante restante:
Portanto
Passo 6
Aplicar as transformadas inversas conhecidas (aqui explico cada fórmula usada):
- Fórmula básica:
Significa que um termo
vira
e
vira
.
- Para termos com quadrático completado: se
,
No nosso caso
e
(porque
).
Agora aplicamos termo a termo à decomposição completa:
Tomando inversa de Laplace:
-
-
-
- Para o último termo escrevemos
, então
Somando tudo, obtemos
.