Mostre calculando pela definição que
Passo 1
O enunciado pede para calcular, pela definição da transformada de Laplace, a transformada de
multiplicada pela função degrau unitário
. Informações dadas:
- A função a transformar é
, com constante real. - A transformada de Laplace, pela definição, será uma integral imprópria a partir de
.
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Relembrando a definição que vamos usar (essa é a base do cálculo): para uma função
multiplicada por
,
desde que a integral convirja. Aqui
é a variável complexa da transformada (podemos pensar inicialmente em
real) e a condição de convergência para nosso caso será
(explico por que mais adiante). Aplicando a definição ao caso,
Vamos calcular essa integral imprópria.
Passo 3
Estratégia de cálculo (escolhi um método elementar e direto): definir
e usar integração por partes duas vezes para obter relações entre
e
. Depois resolvemos o sistema para
. Isso é conveniente porque as integrais de
e
aparecem naturalmente em IBP e fecham entre si.
Passo 4
Calcule
por integração por partes uma vez. Tome em IBP para
:
- escolha
(logo ); - escolha
(logo , válido para ).
Aplicando a fórmula,
Avaliação do termo de fronteira:
desde que
(porque
decai exponencialmente) e em
tem
. Portanto o termo de fronteira vale
O restante é
Ou seja,
Passo 5
Calcule
por integração por partes. Tome:
-
(logo ); -
(logo ).
Então
O termo de fronteira é zero porque
e
para
. Assim
Passo 6
Agora substituímos
na expressão obtida para
. Da equação do Passo 4 temos
Substituindo
(Passo 5),
Isolando
, somamos
aos dois lados:
Fatorando
:
Colocando no mesmo denominador:
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 7
Condições de validade: nas etapas usamos que
e
, o que exige
. Portanto a transformada existe e a fórmula é válida para
. Também vale notar que multiplicar por
só garante que a integral começa em
.