Mostre calculando pela definição que
\mathscr{L}\{\cos (b t) u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição da transformada de Laplace, a transformada de \cos(bt) multiplicada pela função degrau unitário u(t). Informações dadas:
  • A função a transformar é \cos(bt)\,u(t), com b constante real.
  • A transformada de Laplace, pela definição, será uma integral imprópria a partir de t=0.
    O que se pede: mostrar que
\mathscr{L}\{\cos(bt)\,u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (essa é a base do cálculo): para uma função f(t) multiplicada por u(t),
\mathscr{L}\{f(t)u(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
desde que a integral convirja. Aqui s é a variável complexa da transformada (podemos pensar inicialmente em s real) e a condição de convergência para nosso caso será \operatorname{Re}(s)>0 (explico por que mais adiante). Aplicando a definição ao caso,
\mathscr{L}\{\cos(bt)\,u(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(bt)\,dt.
Vamos calcular essa integral imprópria.

Passo 3

Estratégia de cálculo (escolhi um método elementar e direto): definir
I=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(bt)\,dt \qquad\text{e}\qquad J=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(bt)\,dt
e usar integração por partes duas vezes para obter relações entre I e J. Depois resolvemos o sistema para I. Isso é conveniente porque as integrais de \cos e \sin aparecem naturalmente em IBP e fecham entre si.

Passo 4

Calcule I por integração por partes uma vez. Tome em IBP para I:
  • escolha u=\cos(bt) (logo du=-b\sin(bt)\,dt);
  • escolha dv=e^{-st}\,dt (logo v=-\dfrac{e^{-st}}{s}, válido para s\neq0).
    Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
I=\left[-\frac{e^{-st}\cos(bt)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)(-b\sin(bt))\,dt.
Avaliação do termo de fronteira: \displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{-st}\cos(bt)=0 desde que \operatorname{Re}(s)>0 (porque e^{-st} decai exponencialmente) e em t=0 tem -\dfrac{e^{0}\cos 0}{s}=-\dfrac{1}{s}. Portanto o termo de fronteira vale
0-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}.
O restante é
I=\frac{1}{s}-\frac{b}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(bt)\,dt.
Ou seja,
I=\frac{1}{s}-\frac{b}{s}J.

Passo 5

Calcule J por integração por partes. Tome:
  • u=\sin(bt) (logo du=b\cos(bt)\,dt);
  • dv=e^{-st}\,dt (logo v=-\dfrac{e^{-st}}{s}).
    Então
J=\left[-\frac{e^{-st}\sin(bt)}{s}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-st}}{s}\right)(b\cos(bt))\,dt.
O termo de fronteira é zero porque \sin(0)=0 e \lim_{t\to\infty}e^{-st}\sin(bt)=0 para \operatorname{Re}(s)>0. Assim
J=\frac{b}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(bt)\,dt=\frac{b}{s}I.

Passo 6

Agora substituímos J na expressão obtida para I. Da equação do Passo 4 temos
I=\frac{1}{s}-\frac{b}{s}J.
Substituindo J=\dfrac{b}{s}I (Passo 5),
I=\frac{1}{s}-\frac{b}{s}\cdot\frac{b}{s}I=\frac{1}{s}-\frac{b^{2}}{s^{2}}I.
Isolando I, somamos \dfrac{b^{2}}{s^{2}}I aos dois lados:
I+\frac{b^{2}}{s^{2}}I=\frac{1}{s}.
Fatorando I:
I\left(1+\frac{b^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}.
Colocando no mesmo denominador:
I\cdot\frac{s^{2}+b^{2}}{s^{2}}=\frac{1}{s}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{s^{2}}{s^{2}+b^{2}},
I=\frac{s^{2}}{s^{2}+b^{2}}\cdot\frac{1}{s}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.

Passo 7

Condições de validade: nas etapas usamos que \lim_{t\to\infty}e^{-st}\cos(bt)=0 e \lim_{t\to\infty}e^{-st}\sin(bt)=0, o que exige \operatorname{Re}(s)>0. Portanto a transformada existe e a fórmula é válida para \operatorname{Re}(s)>0. Também vale notar que multiplicar por u(t) só garante que a integral começa em 0.

Resposta

\frac{s}{s^{2}+b^{2}}

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