Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: \n
- Pede-se a transformada inversa de Laplace de
. \n - A expressão está em função da variável de Laplace
. \n - Queremos encontrar a função no tempo
cuja transformada de Laplace é a expressão dada. \n
Passo 2
Decisão do método e verificação inicial (sem resolver ainda): \n
- Observação importante: a função racional
tem grau do numerador menor que o do denominador (grau contra grau ), portanto é uma fração própria — ótima para decomposição em frações parciais. \n - Vamos então decompor em frações simples da forma
. Essa é uma técnica padrão para transformar termos da forma em exponenciais no tempo.
Passo 3
Montagem da decomposição em frações parciais: \n
- Assumimos
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade para todos os :
Passo 4
Cálculo dos coeficientes
,
,
pelo método “cover-up” (teste nos polos): \n
- Para
: tomar na identidade reduz a
logo
- Para
: tomar dá
logo
- Para
: tomar dá
logo
Passo 5
Escrevendo a decomposição final: \n
- Substituindo os coeficientes encontrados:
Passo 6
Relembrando as propriedades da transformada de Laplace usadas para inverter: \n
- Linearidade:
. \n - Transformada básica:
. Portanto . \n - Aplicando essas regras termo a termo à decomposição:
Passo 7
Juntando os termos e concluindo: \n
- Somando os três termos do passo anterior obtemos a função no tempo: