Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S}{(S-2)(S-3)(S-6)}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado: \n
  • Pede-se a transformada inversa de Laplace de \displaystyle \frac{S}{(S-2)(S-3)(S-6)}. \n
  • A expressão está em função da variável de Laplace \,S\,. \n
  • Queremos encontrar a função no tempo t cuja transformada de Laplace é a expressão dada. \n

Passo 2

Decisão do método e verificação inicial (sem resolver ainda): \n
  • Observação importante: a função racional \displaystyle \frac{S}{(S-2)(S-3)(S-6)} tem grau do numerador menor que o do denominador (grau 1 contra grau 3), portanto é uma fração própria — ótima para decomposição em frações parciais. \n
  • Vamos então decompor em frações simples da forma \displaystyle \frac{A}{S-2}+\frac{B}{S-3}+\frac{C}{S-6}. Essa é uma técnica padrão para transformar termos da forma \displaystyle \frac{1}{S-a} em exponenciais no tempo.

Passo 3

Montagem da decomposição em frações parciais: \n
  • Assumimos
\frac{S}{(S-2)(S-3)(S-6)}=\frac{A}{S-2}+\frac{B}{S-3}+\frac{C}{S-6}.
  • Multiplicando ambos os lados por (S-2)(S-3)(S-6) obtemos a identidade para todos os S:
S = A(S-3)(S-6)+B(S-2)(S-6)+C(S-2)(S-3).

Passo 4

Cálculo dos coeficientes A, B, C pelo método “cover-up” (teste nos polos): \n
  • Para A: tomar S=2 na identidade reduz a
2 = A(2-3)(2-6) \quad\Rightarrow\quad 2 = A\cdot(-1)\cdot(-4)=4A,
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A=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
  • Para B: tomar S=3
3 = B(3-2)(3-6) \quad\Rightarrow\quad 3 = B\cdot 1\cdot(-3)=-3B,
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B=-\frac{3}{3}=-1.
  • Para C: tomar S=6
6 = C(6-2)(6-3) \quad\Rightarrow\quad 6 = C\cdot 4\cdot 3=12C,
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C=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Escrevendo a decomposição final: \n
  • Substituindo os coeficientes encontrados:
\frac{S}{(S-2)(S-3)(S-6)}=\frac{1/2}{S-2}-\frac{1}{S-3}+\frac{1/2}{S-6}.

Passo 6

Relembrando as propriedades da transformada de Laplace usadas para inverter: \n
  • Linearidade: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{aF(S)+bG(S)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{G(S)\}. \n
  • Transformada básica: \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{S-a}. Portanto \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S-a}\right\}=e^{at}. \n
  • Aplicando essas regras termo a termo à decomposição:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/2}{S-2}\right\}=\frac{1}{2}e^{2t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{S-3}\right\}=-e^{3t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/2}{S-6}\right\}=\frac{1}{2}e^{6t}.

Passo 7

Juntando os termos e concluindo: \n
  • Somando os três termos do passo anterior obtemos a função no tempo:
f(t)=\frac{1}{2}e^{2t}-e^{3t}+\frac{1}{2}e^{6t},\qquad t\ge 0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}e^{2t}-e^{3t}+\frac{1}{2}e^{6t}

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