Determine a transformada inversa de Laplace solicitada: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}\right\}
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}.
Informações relevantes fornecidas:
O transformado de Laplace a inverter é \displaystyle \frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}.
O denominador é um produto de quatro fatores lineares distintos: S, S-1, S+1 e S-2.
A função de S tem grau do numerador menor que o do denominador (grau 2 < grau 4), então não é preciso fazer divisão polinomial antes da decomposição.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem me estender em nomes técnicos): vamos decompor a fração em frações simples (parcialmente fracionada) do tipo \dfrac{A}{S}+\dfrac{B}{S-1}+\dfrac{C}{S+1}+\dfrac{D}{S-2}. Isso é natural quando o denominador tem fatores lineares distintos: a transformada inversa de cada termo é uma exponencial simples ou uma constante, e a linearidade permite somar as inversas. Vou usar o método “cover-up” (Heaviside) para achar os coeficientes rapidamente: para um polo simples em S=s_0, o coeficiente da fração \dfrac{1}{S-s_0} é obtido avaliando a função original (sem o fator S-s_0) em S=s_0.
Multiplicando ambos os lados por S(S-1)(S+1)(S-2) obteríamos uma identidade polinomial, mas usaremos a avaliação nos polos para achar A,B,C,D de forma direta.
Lembrete rápido das transformadas inversas básicas que usaremos:
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S}\right\}=1 para t\ge 0.
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S-a}\right\}=e^{at} para t\ge 0.
A linearidade da transformada de Laplace permite aplicar a inversa termo a termo.