Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O transformado de Laplace a inverter é \displaystyle \frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}.
  • O denominador é um produto de quatro fatores lineares distintos: S, S-1, S+1 e S-2.
  • A função de S tem grau do numerador menor que o do denominador (grau 2 < grau 4), então não é preciso fazer divisão polinomial antes da decomposição.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem me estender em nomes técnicos): vamos decompor a fração em frações simples (parcialmente fracionada) do tipo \dfrac{A}{S}+\dfrac{B}{S-1}+\dfrac{C}{S+1}+\dfrac{D}{S-2}. Isso é natural quando o denominador tem fatores lineares distintos: a transformada inversa de cada termo é uma exponencial simples ou uma constante, e a linearidade permite somar as inversas. Vou usar o método “cover-up” (Heaviside) para achar os coeficientes rapidamente: para um polo simples em S=s_0, o coeficiente da fração \dfrac{1}{S-s_0} é obtido avaliando a função original (sem o fator S-s_0) em S=s_0.

Passo 3

Montamos a decomposição em frações simples:
\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}=\frac{A}{S}+\frac{B}{S-1}+\frac{C}{S+1}+\frac{D}{S-2}.
Multiplicando ambos os lados por S(S-1)(S+1)(S-2) obteríamos uma identidade polinomial, mas usaremos a avaliação nos polos para achar A,B,C,D de forma direta.

Passo 4

Cálculo de A (polo em S=0). Pelo método cover-up:
A=\left.\frac{S^{2}+1}{(S-1)(S+1)(S-2)}\right|_{S=0}.
Calculando numerador e denominador em S=0:
\text{numerador}=0^{2}+1=1,
\text{denominador}=(0-1)(0+1)(0-2)=(-1)(1)(-2)=2.
Logo
A=\frac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo de B (polo em S=1). Pelo método cover-up:
B=\left.\frac{S^{2}+1}{S(S+1)(S-2)}\right|_{S=1}.
Calculando em S=1:
\text{numerador}=1^{2}+1=2,
\text{denominador}=1\cdot(1+1)\cdot(1-2)=1\cdot2\cdot(-1)=-2.
Logo
B=\frac{2}{-2}=-1.

Passo 6

Cálculo de C (polo em S=-1). Pelo método cover-up:
C=\left.\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S-2)}\right|_{S=-1}.
Calculando em S=-1:
\text{numerador}=(-1)^{2}+1=2,
\text{denominador}=(-1)\cdot(-1-1)\cdot(-1-2)=(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=-6.
Logo
C=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}.

Passo 7

Cálculo de D (polo em S=2). Pelo método cover-up:
D=\left.\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)}\right|_{S=2}.
Calculando em S=2:
\text{numerador}=2^{2}+1=5,
\text{denominador}=2\cdot(2-1)\cdot(2+1)=2\cdot1\cdot3=6.
Logo
D=\frac{5}{6}.

Passo 8

Agora escrevemos a decomposição completa com os coeficientes encontrados:
\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}=\frac{1/2}{S}+\frac{-1}{S-1}+\frac{-1/3}{S+1}+\frac{5/6}{S-2}.
Ou, rearranjando:
\frac{S^{2}+1}{S(S-1)(S+1)(S-2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{S}-\frac{1}{S-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{S+1}+\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{S-2}.

Passo 9

Lembrete rápido das transformadas inversas básicas que usaremos:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S}\right\}=1 para t\ge 0.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S-a}\right\}=e^{at} para t\ge 0.
    A linearidade da transformada de Laplace permite aplicar a inversa termo a termo.

Passo 10

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{S}\right\}=\frac{1}{2},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{S-1}\right\}=-e^{t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{S+1}\right\}=-\frac{1}{3}e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{S-2}\right\}=\frac{5}{6}e^{2t}.
Somando os termos, obtemos a função no domínio do tempo:
f(t)=\frac{1}{2}-e^{t}-\frac{1}{3}e^{-t}+\frac{5}{6}e^{2t},\qquad t\ge 0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}-e^{t}-\frac{1}{3}e^{-t}+\frac{5}{6}e^{2t}

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