Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
200(s^2+1)s(s^2+18,3 s+233)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa unilateral de:
200(s^2+1)s(s^2+18,3 s+233)
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais, especialmente em engenharia e física. Para resolver isso, vamos precisar utilizar frações parciais, que nos ajudam a decompor expressões racionais em partes mais simples que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observamos que o denominador já está fatorado como . Nosso próximo passo é separar a fração em partes mais simples usando frações parciais.

Passo 3

Vamos assumir que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
200(s^2+1)s(s^2+18,3 s+233) = As + Bs + Cs^2+18,3 s+233
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 200(s^2+1) = A(s^2+18,3 s+233) + (Bs + C)s para eliminar os denominadores:
200s^2 + 200 = A s^2 + 18,3 A s + 233 A + Bs^2 + Cs
Simplificando:

Passo 5

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
200s^2 + 200 = (A + B)s^2 + 18,3 A s + Cs + 233 A
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para A + B = 200 : 18,3 A + C = 0
  2. Para 233 A = 200 :
  3. Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
233 A = 200 Rightarrow A = 200233 approx 0,8584
Em seguida, da primeira equação:
A + B = 200 Rightarrow B = 200 - A = 200 - 200233 = 46600 - 200233 = 46400233 approx 199,1405
Por último, da segunda equação:
18,3 A + C = 0 Rightarrow C = -18,3 A = -18,3 times 200233 = -3660233 approx -15,7176

Passo 7

Agora que temos os valores de 200(s^2+1)s(s^2+18,3 s+233) = 0,8584s + 199,1405 s -15,7176s^2+18,3 s+233 , e , podemos reescrever a expressão original utilizando frações parciais:

Passo 8

Para facilitar a transformada inversa, vamos completar o quadrado no denominador da segunda fração:
Primeiro, considere s^2 + 18,3 s + 233 = (s + 18,32)^2 - (18,32)^2 + 233 :
(18,32)^2 = 84,225 s^2 + 18,3 s + 233 = (s + 9,15)^2 - 84,225 + 233 = (s + 9,15)^2 + 148,775
Calculando:

Passo 9

Agora, reescrevemos a segunda fração com o denominador completado:
199,1405 s -15,7176(s + 9,15)^2 + 148,775
Podemos ajustar o numerador para se adequar à forma padrão da transformada de Laplace:
199,1405 (s + 9,15) - (199,1405 times 9,15 +15,7176)
Calculando:
199,1405 times 9,15 approx 1820 -1820 -15,7176 approx -1835,7176
Então:
199,1405 s -15,7176(s + 9,15)^2 + 148,775 = 199,1405 (s + 9,15)(s + 9,15)^2 + 148,775 - 1835,7176(s + 9,15)^2 + 148,775

Passo 10

Agora, identificamos as transformadas inversas conhecidas:
  1. L^-1199,1405 (s + 9,15)(s + 9,15)^2 + 148,775 = 199,1405 e^-9,15 t cos(raiz148,775 , t)
  2. L^-11835,7176(s + 9,15)^2 + 148,775 = 1835,7176raiz148,775 e^-9,15 t sin(raiz148,775 , t)
Aplicando isso, temos:
E

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace da função dada é:
f(t) = 200233 cdot 1 + 0,8584 cdot e^-9,15 t cos(12,2 , t) - 1835,7176raiz148,775 e^-9,15 t sin(12,2 , t)
Onde f(t) approx 0,8584 + 0,8584 , e^-9,15 t cos(12,2 , t) - 15,7176 , e^-9,15 t sin(12,2 , t) . Simplificando:

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