Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa unilateral de:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais, especialmente em engenharia e física. Para resolver isso, vamos precisar utilizar frações parciais, que nos ajudam a decompor expressões racionais em partes mais simples que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observamos que o denominador já está fatorado como
. Nosso próximo passo é separar a fração em partes mais simples usando frações parciais.
Passo 3
Vamos assumir que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
Em seguida, da primeira equação:
Por último, da segunda equação:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a expressão original utilizando frações parciais:
Passo 8
Para facilitar a transformada inversa, vamos completar o quadrado no denominador da segunda fração:
Primeiro, considere
:
Calculando:
Passo 9
Agora, reescrevemos a segunda fração com o denominador completado:
Podemos ajustar o numerador para se adequar à forma padrão da transformada de Laplace:
Calculando:
Então:
Passo 10
Agora, identificamos as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando isso, temos:
E
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace da função dada é:
Onde
. Simplificando: