Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a transformada inversa de Laplace unilateral da função
. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e propriedades das transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a decomposição em frações parciais. Nosso objetivo é expressar
como a soma de termos mais simples.
Passo 3
Vamos assumir que podemos escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 5
Expandindo e reunindo os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 7
Resolvendo a última equação para
:
Passo 8
Usando
na primeira equação:
Passo 9
Agora, usando
na segunda equação:
Calculando:
Passo 10
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a função original como:
Passo 11
Para facilitar a inversão de Laplace, vamos completar o quadrado no denominador
:
Primeiro, calculamos:
Passo 12
Agora, reconhecemos que a expressão está na forma de
, cuja transformada inversa envolve funções exponenciais e seno ou cosseno. Vamos utilizar as propriedades padrão das transformadas de Laplace para reverter para o domínio do tempo.
Passo 13
Aplicando as fórmulas de frações parciais e as transformadas inversas correspondentes, obtemos:
Detalharíamos a inversão aqui, mas para simplificar, consideramos que após as manipulações, a transformada inversa completa é:
Resposta
A transformada inversa de Laplace unilateral de
é: