Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
s^2(s+1)(s^2+5 s+25)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
s^2(s+1)(s^2+5 s+25)
Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a resolver equações diferenciais de maneira mais fácil. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para quebrar funções racionais em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a função original em frações parciais. A ideia é escrever a função como uma soma de termos mais simples. Então, queremos encontrar constantes s^2(s+1)(s^2+5s+25) = As+1 + Bs + Cs^2+5s+25 , e tais que:
Isso facilita porque sabemos como lidar com cada parte separadamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de s^2 = A(s^2+5s+25) + (Bs + C)(s+1) , s^2 = A s^2 + 5A s + 25A + B s^2 + B s + C s + C e s^2 = (A + B)s^2 + (5A + B + C)s + (25A + C) . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = A + B :
0 = 5A + B + C
Expandindo o lado direito:
0 = 25A + C
Agrupando os termos semelhantes:
0 = 5A + (1 - A) - 25A 0 = 5A + 1 - A - 25A 0 = -21A + 1 21A = 1 A = 121
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
  • Da primeira equação:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo e na segunda equação:
Então:

Passo 4

Agora que temos os valores de s^2(s+1)(s^2+5s+25) = 121s+1 + 2021s - 2521s^2+5s+25 , = 121 cdot 1s+1 + 2021 cdot ss^2+5s+25 - 2521 cdot 1s^2+5s+25 e , substituímos de volta na decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar mais um pouco:
Agora, identificamos as transformadas inversas conhecidas:
  1. Para os termos com , completamos o quadrado no denominador:
Usando fórmulas de transformadas de Laplace para funções do tipo e , temos:

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace é:
f(t) = 121 e^-t + 2021 e^-52t cos(raiz752 t) - 2521 cdot 2raiz75 e^-52t sin(raiz752 t)

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