Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a resolver equações diferenciais de maneira mais fácil. Para resolver isso, vamos precisar usar a fração parcial, que é uma técnica para quebrar funções racionais em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a função original em frações parciais. A ideia é escrever a função como uma soma de termos mais simples. Então, queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Isso facilita porque sabemos como lidar com cada parte separadamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
- Da primeira equação:
- Da terceira equação:
- Substituindo
e na segunda equação:
Então:
Passo 4
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar mais um pouco:
Agora, identificamos as transformadas inversas conhecidas:
-
- Para os termos com
, completamos o quadrado no denominador: -
Usando fórmulas de transformadas de Laplace para funções do tipo
e
, temos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace é: