Determine a transformada inversa das seguintes funções:
( 2 \mathrm{~s}+5) /\left(\mathrm{s}^{2}+5 \mathrm{~s}+6\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de s
F(s)=\frac{2s+5}{s^{2}+5s+6}
e pede a transformada inversa (ou seja, encontrar a função no tempo f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}).
Informações fornecidas: o numerador é 2s+5 e o denominador é s^{2}+5s+6.
O objetivo é retornar f(t) explicitamente (assumir t\ge 0, sinalizando causalidade).

Passo 2

Verificar se a fração é própria (grau do numerador menor que o do denominador).
O numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2, então a fração é própria e podemos usar decomposição em frações parciais diretamente.

Passo 3

Fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais:
s^{2}+5s+6=(s+2)(s+3).
Isso é obtido procurando dois números que multiplicam 6 e somam 5 (são 2 e 3).

Passo 4

Montar a decomposição em frações parciais com constantes A e B:
\frac{2s+5}{(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s+3) obtemos a identidade polinomial
2s+5 = A(s+3)+B(s+2).

Passo 5

Expandir o lado direito e igualar coeficientes:
A(s+3)+B(s+2)=(A+B)s+(3A+2B).
Comparando com 2s+5\) obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B=2,\\[4pt] 3A+2B=5. \end{cases}
Resolver: de A=2-B\]. Substituindo na segunda equação: \[3(2-B)+2B=5 \quad\Rightarrow\quad 6-3B+2B=5 \quad\Rightarrow\quad -B=-1 \quad\Rightarrow\quad B=1.\] Então \(A=2-B=1.]

Passo 6

Com A=1 e B=1 a decomposição fica
\frac{2s+5}{s^{2}+5s+6}=\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+3}.
Agora usamos a regra básica da transformada inversa de Laplace: para t\ge 0,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.
(Explicando rápido: a transformada de Laplace de e^{-a t} é \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{-a t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}dt=\dfrac{1}{s+a} para \operatorname{Re}(s)>-a.)

Passo 7

Aplicando a linearidade da transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+3}\right\}=e^{-3t}.
Portanto a função no tempo (assumindo causalidade, t\ge0) é a soma:
f(t)=e^{-2t}+e^{-3t}\quad (t\ge0).

Resposta

f(t)=e^{-2t}+e^{-3t},\\ t\ge0

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