Através do método de integração direta, determine a transformada de Laplace e a região de convergência das seguintes funções:
e^{-2 t} \cdot \cos (5 t+\theta) \cdot u(t)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: determinar a transformada de Laplace e a região de convergência (ROC) da função e^{-2 t}\cdot\cos(5 t+\theta)\cdot u(t).
  • Dado: a função é multiplicada por u(t) (função degrau unitário), o que significa que só interessa t\ge 0.
  • Em resumo: calcular
F(s)=\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(5t+\theta)u(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,e^{-2t}\cos(5t+\theta)\,dt
e determinar a ROC (valores de s para os quais a integral converge).

Passo 2

Primeiro simplificar a parte trigonométrica usando a identidade de soma de ângulos:
\cos(5t+\theta)=\cos\theta\cos(5t)-\sin\theta\sin(5t).
Essa identidade é útil porque a transformada de Laplace é linear: basta calcular as transformadas de e^{-2t}\cos(5t) e e^{-2t}\sin(5t) e combinar com os coeficientes \cos\theta e -\sin\theta.

Passo 3

Escrever a integral usando linearidade:
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\cos(5t+\theta)\,dt =\cos\theta\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\cos(5t)\,dt -\sin\theta\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\sin(5t)\,dt.
Para que essas integrais improprias converjam precisamos que a parte exponencial decaia: isto exige \Re(s+2)>0, ou seja
\Re(s)>-2.
Minha próxima tarefa é calcular as integrais do tipo \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(bt)\,dt e \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin(bt)\,dt com a=\Re(a)>0.

Passo 4

Calcular as integrais padrão (pressupõe a=\Re(a)>0) usando integração por partes (vou mostrar detalhadamente):
Defina
I=\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(bt)\,dt,\qquad J=\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin(bt)\,dt.
Integração por partes em I: escolha u=\cos(bt), dv=e^{-a t}dt. Então du=-b\sin(bt)dt e v=-\dfrac{e^{-a t}}{a}. Assim
I=\left[-\frac{e^{-a t}\cos(bt)}{a}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-a t}}{a}\right)(-b\sin(bt))\,dt.
Como a>0, o termo no infinito vale 0 e no zero vale -\dfrac{1}{a}, então a parte de fronteira dá 1/a. A integral restante é -\dfrac{b}{a}J. Logo
I=\frac{1}{a}-\frac{b}{a}J. \tag{1}
Agora integração por partes em J: escolha u=\sin(bt), dv=e^{-a t}dt. Então du=b\cos(bt)dt e v=-\dfrac{e^{-a t}}{a}. Assim
J=\left[-\frac{e^{-a t}\sin(bt)}{a}\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-a t}}{a}\right)(b\cos(bt))\,dt.
Novamente o termo de fronteira é zero, então
J=\frac{b}{a}I. \tag{2}
Substituindo (2) em (1):
I=\frac{1}{a}-\frac{b}{a}\cdot\frac{b}{a}I \quad\Rightarrow\quad I\left(1+\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{1}{a} \quad\Rightarrow\quad I=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}.
E de (2):
J=\frac{b}{a}I=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.
Portanto, para \Re(a)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(bt)\,dt=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}, \qquad \int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin(bt)\,dt=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.

Passo 5

Agora aplicar com a=s+2 e b=5. Lembre que a condição de convergência é \Re(s+2)>0 (isto é, \Re(s)>-2).
Usando as fórmulas do passo anterior:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\cos(5t)\,dt=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+5^{2}},
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\sin(5t)\,dt=\frac{5}{(s+2)^{2}+5^{2}}.
Substituindo na expressão do Passo 3:
F(s)=\cos\theta\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+25} -\sin\theta\cdot\frac{5}{(s+2)^{2}+25}.
Podemos colocar num único quociente:
F(s)=\frac{(s+2)\cos\theta-5\sin\theta}{(s+2)^{2}+25},
com região de convergência
\Re(s)>-2.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(5t+\theta)u(t)\}(s)=\frac{(s+2)\cos\theta-5\sin\theta}{(s+2)^{2}+25}
\text{Região de convergência: }\Re(s)>-2ãê

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