Através do método de integração direta, determine a transformada de Laplace e a região de convergência das seguintes funções: e^{-2 t} \cdot \cos (5 t+\theta) \cdot u(t)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede: determinar a transformada de Laplace e a região de convergência (ROC) da função e^{-2 t}\cdot\cos(5 t+\theta)\cdot u(t).
Dado: a função é multiplicada por u(t) (função degrau unitário), o que significa que só interessa t\ge 0.
Essa identidade é útil porque a transformada de Laplace é linear: basta calcular as transformadas de e^{-2t}\cos(5t) e e^{-2t}\sin(5t) e combinar com os coeficientes \cos\theta e -\sin\theta.
Para que essas integrais improprias converjam precisamos que a parte exponencial decaia: isto exige \Re(s+2)>0, ou seja
\Re(s)>-2.
Minha próxima tarefa é calcular as integrais do tipo \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(bt)\,dt e \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\sin(bt)\,dt com a=\Re(a)>0.
Passo 4
Calcular as integrais padrão (pressupõe a=\Re(a)>0) usando integração por partes (vou mostrar detalhadamente):