Determine a transformada inversa das seguintes funções:
\mathrm{s}^{3} /\left[(\mathrm{s}+1){2}\left(\mathrm{~s}{2}+2 \mathrm{~s}+5\right)\right]
\mathrm{s}^{3} /\left[(\mathrm{s}+1){2}\left(\mathrm{~s}{2}+2 \mathrm{~s}+5\right)\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos\n
- Pede a transformada inversa de Laplace da função
- Informação útil: o denominador pode ser reescrito usando
:
- Objetivo: encontrar
, isto é a função do tempo cuja transformada de Laplace é .
Passo 2
Mudança de variável para simplificar a decomposição e expansão do numerador\n
- Defino
. Então . Substituo no numerador:
- O denominador fica
. - Assim
Passo 3
Escolha do método: decomposição em frações parciais\n
- Vamos decompor a função racional em termos simples de
:
onde
são constantes a determinar.
- Multiplico ambos os lados por
e igualo os polinômios:
- Expando o lado direito:
- Agrupo coeficientes por potências de
:
- Igualando com os coeficientes do polinômio à esquerda
, obtemos o sistema:
- Resolvo o sistema:
Passo 4
Escrevo a decomposição final em termos de
\n
- Voltando a
, a decomposição fica
- Posso separar o último quociente em duas frações:
Passo 5
Revisão rápida das transformadas inversas que vou usar (fórmulas e interpretação)\n
- Deslocamento exponencial (teorema do deslocamento):
. Em particular, termos com correspondem a funções multiplicadas por . - Pares padrões:
- Da última relação segue
Passo 6
Aplico a transformada inversa termo a termo e monto
\n
- Inversas dos termos:
- Somando todos os termos: