Determine a transformada inversa das seguintes funções:
\mathrm{s}^{3} /\left[(\mathrm{s}+1){2}\left(\mathrm{~s}{2}+2 \mathrm{~s}+5\right)\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos\n
  • Pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{s^{3}}{(s+1)^{2}\bigl(s^{2}+2s+5\bigr)}.
  • Informação útil: o denominador pode ser reescrito usando s+1:
s^{2}+2s+5=(s+1)^{2}+4.
  • Objetivo: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t), isto é a função do tempo cuja transformada de Laplace é F(s).

Passo 2

Mudança de variável para simplificar a decomposição e expansão do numerador\n
  • Defino u=s+1. Então s=u-1. Substituo no numerador:
s^{3}=(u-1)^{3}=u^{3}-3u^{2}+3u-1.
  • O denominador fica (s+1)^{2}(s^{2}+2s+5)=u^{2}(u^{2}+4).
  • Assim
F(s)=\frac{u^{3}-3u^{2}+3u-1}{u^{2}(u^{2}+4)}.

Passo 3

Escolha do método: decomposição em frações parciais\n
  • Vamos decompor a função racional em termos simples de u:
\frac{u^{3}-3u^{2}+3u-1}{u^{2}(u^{2}+4)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u^{2}}+\frac{Cu+D}{u^{2}+4},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
  • Multiplico ambos os lados por u^{2}(u^{2}+4) e igualo os polinômios:
u^{3}-3u^{2}+3u-1 = A\,u(u^{2}+4)+B(u^{2}+4)+(Cu+D)u^{2}.
  • Expando o lado direito:
A u^{3}+4A u + B u^{2}+4B + C u^{3}+D u^{2}.
  • Agrupo coeficientes por potências de u:
\text{coef. de }u^{3}:\; A+C, \qquad \text{coef. de }u^{2}:\; B+D,
\text{coef. de }u^{1}:\; 4A, \qquad \text{coef. de }u^{0}:\; 4B.
  • Igualando com os coeficientes do polinômio à esquerda u^{3}-3u^{2}+3u-1, obtemos o sistema:
\begin{cases} A+C=1,\\[4pt] B+D=-3,\\[4pt] 4A=3,\\[4pt] 4B=-1. \end{cases}
  • Resolvo o sistema:
A=\frac{3}{4},\qquad B=-\frac{1}{4},
C=1-A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}, \qquad D=-3-B=-3-\Bigl(-\frac{1}{4}\Bigr)=-\frac{11}{4}.]

Passo 4

Escrevo a decomposição final em termos de s\n
  • Voltando a u=s+1, a decomposição fica
F(s)=\frac{3/4}{s+1}-\frac{1/4}{(s+1)^{2}}+\frac{1/4\,(s+1)-\tfrac{11}{4}}{(s+1)^{2}+4}.
  • Posso separar o último quociente em duas frações:
\frac{1}{4}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}-\frac{11}{4}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 5

Revisão rápida das transformadas inversas que vou usar (fórmulas e interpretação)\n
  • Deslocamento exponencial (teorema do deslocamento): \mathcal{L}\{e^{-t}g(t)\}(s)=G(s+1). Em particular, termos com (s+1) correspondem a funções multiplicadas por e^{-t}.
  • Pares padrões:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}(t)=e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\right\}(t)=t\,e^{-t}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{(s+1)^{2}+2^{2}}\right\}(t)=e^{-t}\cos(2t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+1)^{2}+2^{2}}\right\}(t)=e^{-t}\sin(2t).
  • Da última relação segue
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}+4}\right\}(t)=\frac{1}{2}\,e^{-t}\sin(2t).

Passo 6

Aplico a transformada inversa termo a termo e monto f(t)\n
  • Inversas dos termos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3/4}{s+1}\right\}(t)=\frac{3}{4}e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1/4}{(s+1)^{2}}\right\}(t)=-\frac{1}{4}t e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{4}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}\right\}(t)=\frac{1}{4}e^{-t}\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{11}{4}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+4}\right\}(t)=-\frac{11}{4}\cdot\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t)=-\frac{11}{8}e^{-t}\sin(2t).
  • Somando todos os termos:
f(t)=e^{-t}\!\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}t+\frac{1}{4}\cos(2t)-\frac{11}{8}\sin(2t)\right).

Resposta

f(t)=e^{-t}\!\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}t+\frac{1}{4}\cos(2t)-\frac{11}{8}\sin(2t)\right)

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