Determine a transformada de Laplace de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a Transformada de Laplace da expressão
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando resolver equações diferenciais, por exemplo. Para isso, vamos precisar conhecer as transformadas básicas da função delta de Dirac
, da constante e da função degrau unitário
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace é uma operação linear. Isso significa que a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função, e podemos tirar fatores constantes para fora. Então, podemos quebrar a expressão original em partes:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas transformadas separadamente.
-
Transformada da função delta de Dirac
: A Transformada de Laplace da funçãoé sempre 1. Isso porque a função delta “pega” o valor da função no instante . -
Transformada da constante 3:A Transformada de Laplace de uma constante
é , onde é a variável da Transformada de Laplace. -
Transformada da função degrau unitário
: A Transformada de Laplace da funçãoé . Isso porque o degrau unitário inicia em 1 a partir de .
Passo 4
Agora, vamos substituir essas transformadas de volta na expressão inicial:
Simplificando:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: