Determine a transformada de Laplace de (t)=t^2 sen(2 t) u(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{2} \cdot \sin(2t) \cdot u(t) $. A matéria que estamos lidando aqui é Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas básicas da transformada de Laplace e como aplicá-las a funções que envolvem polinômios e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = t^{2} \cdot \sin(2t) $. Mas calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que facilita o processo quando temos um polinômio multiplicando uma função trigonométrica.

Passo 3

A propriedade que vamos usar é a seguinte:
Lt^n cdot sin(at) = 2a s(s^2 + a^2)^(n+1)
No nosso exercício, $ n = 2 $ e $ a = 2 $. Vamos então aplicar essa fórmula.

Passo 4

Substituindo $ n = 2 $ e $ a = 2 $ na fórmula, temos:
n = 2
Simplificando a expressão:
a = 2

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) = t^{2} \cdot \sin(2t) \cdot u(t) $ é:
f(t) = t^2 cdot sin(2t) cdot u(t)

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