Determine a transformada de Laplace de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{2} \cdot \sin(2t) \cdot u(t) $. A matéria que estamos lidando aqui é Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas básicas da transformada de Laplace e como aplicá-las a funções que envolvem polinômios e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
No nosso caso, $ f(t) = t^{2} \cdot \sin(2t) $. Mas calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que facilita o processo quando temos um polinômio multiplicando uma função trigonométrica.
Passo 3
A propriedade que vamos usar é a seguinte:
No nosso exercício, $ n = 2 $ e $ a = 2 $. Vamos então aplicar essa fórmula.
Passo 4
Substituindo $ n = 2 $ e $ a = 2 $ na fórmula, temos:
Simplificando a expressão:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) = t^{2} \cdot \sin(2t) \cdot u(t) $ é: