Determine o a transformada de Laplace de
.
- Indique quais propriedades das transformadas de Laplace foram utilizadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = 5 - 5t^{-2}(1 + 2t) $. Estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace e usar fórmulas padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função $ f(t) $ em duas partes para facilitar a aplicação da transformada:
Podemos distribuir o $ -5t^{-2} $ dentro do parêntese:
Agora, temos três termos separados: $ 5 $, $ -5t^{-2} $, e $ -10t^{-1} $.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo individualmente. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
Mas para simplificar, vamos usar as transformadas conhecidas:
- Transformada de uma constante:
- Transformada de $ t^n $:
onde $ \Gamma $ é a função gama.
- Transformada de $ t^{-1} $ e $ t^{-2} $:
Essas transformadas envolvem funções especiais e não são definidas para todos os valores de $ t $. No entanto, assumindo que estamos tratando dessas funções em um contexto onde elas são transformáveis, podemos prosseguir formalmente.
Passo 4
Aplicando as transformadas nos termos:
- Para o termo constante $ 5 $:
- Para o termo $ -5t^{-2} $:
No entanto, a função gama não está definida para $ n+1 = -1 $, então essa parte não é válida no domínio usual das transformadas de Laplace.
- Para o termo $ -10t^{-1} $:
Novamente, a função gama $ \Gamma(0) $ não está definida, o que indica que a transformada de Laplace para esses termos não é válida no sentido tradicional.
Resposta
Após analisar cada termo, concluímos que a transformada de Laplace de $ f(t) = 5 - 5t^{-2}(1 + 2t) $ não está definida no domínio usual das transformadas de Laplace devido aos termos $ t^{-2} $ e $ t^{-1} $. Portanto, a transformada de Laplace de $ f(t) $ não existe nas condições padrões.