Projete um circuito ressonante paralelo para o qual
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa projetar um circuito ressonante paralelo com os seguintes valores: resistência $ R = 4000 $ Ohms, fator de qualidade $ Q = 14 $ e frequência angular de ressonância $ \omega_0 = 14.130 $ rad/s. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC paralelos e algumas fórmulas que relacionam esses parâmetros. Vamos precisar encontrar os valores do indutor $ L $ e do capacitor $ C $ que atendem a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um circuito ressonante paralelo. Esse tipo de circuito é formado por uma resistência $ R $, um indutor $ L $ e um capacitor $ C $ todos conectados em paralelo. Na ressonância, a reatância indutiva $ X_L $ e a reatância capacitiva $ X_C $ se anulam, fazendo com que a impedância do circuito seja máxima.
A frequência angular de ressonância $ \omega_0 $ é dada por:
E o fator de qualidade $ Q $ para um circuito ressonante paralelo é definido por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ L $ e $ C $ que satisfazem essas duas equações com os valores fornecidos.
Passo 3
Vamos começar isolando uma das variáveis. Da equação do fator de qualidade:
Podemos isolar $ \sqrt{\frac{C}{L}} $:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação da frequência angular de ressonância:
Substituindo $ C $ da equação anterior:
Agora, podemos isolar $ L $:
Passo 5
Vamos calcular o valor de $ L $ substituindo os valores fornecidos:
Passo 6
Com o valor de $ L $, podemos encontrar $ C $ usando a equação que derivamos anteriormente:
Calculando:
Convertendo para microfarads (µF):
Resposta
Para projetar o circuito ressonante paralelo com $ R = 4000 $ Ohms, $ Q = 14 $ e $ \omega_0 = 14.130 $ rad/s, os componentes necessários são: