Projete um circuito ressonante paralelo para o qual R=4000, Q=14 e omega 0=14.130 rad / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa projetar um circuito ressonante paralelo com os seguintes valores: resistência $ R = 4000 $ Ohms, fator de qualidade $ Q = 14 $ e frequência angular de ressonância $ \omega_0 = 14.130 $ rad/s. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC paralelos e algumas fórmulas que relacionam esses parâmetros. Vamos precisar encontrar os valores do indutor $ L $ e do capacitor $ C $ que atendem a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um circuito ressonante paralelo. Esse tipo de circuito é formado por uma resistência $ R $, um indutor $ L $ e um capacitor $ C $ todos conectados em paralelo. Na ressonância, a reatância indutiva $ X_L $ e a reatância capacitiva $ X_C $ se anulam, fazendo com que a impedância do circuito seja máxima.
A frequência angular de ressonância $ \omega_0 $ é dada por:
R
E o fator de qualidade $ Q $ para um circuito ressonante paralelo é definido por:
L
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ L $ e $ C $ que satisfazem essas duas equações com os valores fornecidos.

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis. Da equação do fator de qualidade:
Q = R raizCL
Podemos isolar $ \sqrt{\frac{C}{L}} $:
raizCL
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
raizCL = QR
Então:
CL = ( QR )^2

Passo 4

Agora, vamos usar a equação da frequência angular de ressonância:
omega0 = 1raizLC
Substituindo $ C $ da equação anterior:
C
Agora, podemos isolar $ L $:
omega0 = 1raizL cdot L ( QR )^2 = 1L cdot QR = RL Q

Passo 5

Vamos calcular o valor de $ L $ substituindo os valores fornecidos:
L

Passo 6

Com o valor de $ L $, podemos encontrar $ C $ usando a equação que derivamos anteriormente:
L
Calculando:
C
Convertendo para microfarads (µF):
C = L ( QR )^2 = 2.012 , H ( 144000 )^2

Resposta

Para projetar o circuito ressonante paralelo com $ R = 4000 $ Ohms, $ Q = 14 $ e $ \omega_0 = 14.130 $ rad/s, os componentes necessários são:
R = 4000
Q = 14

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