Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
10 e^-4 t cos (20 t+36,9^circ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função:
10 e^-4 t cos (20 t + 36,9^circ)
Para isso, vamos usar alguns conceitos de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar lembrar como transformar funções exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com o termo exponencial e^-4 t. A Transformada de Laplace de e^a t f(t) é Lf(t) = F(s - a). Isso significa que se a função tem um fator exponencial, a transformada “desloca” a variável s para s - a.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte trigonométrica: cos (20 t + 36,9^circ). Esse termo tem um ângulo de fase de 36,9^circ. Podemos usar a identidade trigonométrica para expandir esse cosseno:
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
Aplicando isso:
cos(20 t + 36,9^circ) = cos(20 t) cos(36,9^circ) - sin(20 t) sin(36,9^circ)

Passo 4

Vamos calcular os valores de cos(36,9^circ) e sin(36,9^circ). Sabemos que 36,9^circ é aproximadamente o ângulo cuja tangente é 0,75, então:
cos(36,9^circ) approx 0,8
sin(36,9^circ) approx 0,6
Assim, a expressão fica:
cos(20 t + 36,9^circ) approx 0,8 cos(20 t) - 0,6 sin(20 t)

Passo 5

Agora, nossa função original fica:
10 e^-4 t [0,8 cos(20 t) - 0,6 sin(20 t)] = 8 e^-4 t cos(20 t) - 6 e^-4 t sin(20 t)
Vamos separar isso em duas partes para facilitar a Transformada de Laplace:
f(t) = 8 e^-4 t cos(20 t)
g(t) = -6 e^-4 t sin(20 t)

Passo 6

Sabemos que:
Le^a t cos(b t) = s - a(s - a)^2 + b^2
Le^a t sin(b t) = b(s - a)^2 + b^2
No nosso caso, a = -4 e b = 20.

Passo 7

Aplicando as fórmulas:
Para f(t):
Lf(t) = 8 times s - (-4)(s - (-4))^2 + 20^2 = 8 times s + 4(s + 4)^2 + 400
Para g(t):
Lg(t) = -6 times 20(s + 4)^2 + 400

Passo 8

Agora, somamos as transformadas de f(t) e g(t):
Lf(t) + g(t) = 8 times s + 4(s + 4)^2 + 400 - 6 times 20(s + 4)^2 + 400

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:
Lf(t) + g(t) = 8(s + 4) - 120(s + 4)^2 + 400 = 8s + 32 - 120(s + 4)^2 + 400 = 8s - 88(s + 4)^2 + 400

Resposta

A Transformada de Laplace da função 10 e^-4 t cos (20 t + 36,9^circ) é:
L10 e^-4 t cos (20 t + 36,9^circ) = 8 s - 88(s + 4)^2 + 400

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