Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função:
Para isso, vamos usar alguns conceitos de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar lembrar como transformar funções exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com o termo exponencial
. A Transformada de Laplace de
é
. Isso significa que se a função tem um fator exponencial, a transformada “desloca” a variável
para
.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte trigonométrica:
. Esse termo tem um ângulo de fase de
. Podemos usar a identidade trigonométrica para expandir esse cosseno:
Aplicando isso:
Passo 4
Vamos calcular os valores de
e
. Sabemos que
é aproximadamente o ângulo cuja tangente é
, então:
Assim, a expressão fica:
Passo 5
Agora, nossa função original fica:
Vamos separar isso em duas partes para facilitar a Transformada de Laplace:
Passo 6
Sabemos que:
No nosso caso,
e
.
Passo 7
Aplicando as fórmulas:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, somamos as transformadas de
e
:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: