Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
Informações relevantes dadas:
- A função é a soma de três parcelas:
, e . - Precisa-se da transformada de Laplace dessa função inteira (ou seja, usar linearidade e propriedades usuais).
Não se faz aqui nenhum cálculo — apenas foi identificado o que se pede e quais termos aparecem.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (linearidade):
onde
denota a transformada de Laplace e
é constante.
Portanto vamos calcular a transformada de cada parcela separadamente e somar os resultados.
Portanto vamos calcular a transformada de cada parcela separadamente e somar os resultados.
Passo 3
Transformada do termo
.
Primeiro, lembrar a transformada de
(fórmula padrão):
Breve justificativa (para ficar na cabeça): usa-se a propriedade
aplicada repetidamente a
; com isso obtém-se
,
etc. Em particular:
Multiplicando por
(linearidade),
Agora aplicar a propriedade de deslocamento em frequência (efeito do fator exponencial
):
Aqui
, logo substituir
por
em
. Assim
Passo 4
Transformada do termo
.
Usando a fórmula de
com
:
Pelo fator
,
Passo 5
Transformada do termo
.
Fórmula padrão:
Aqui
, então
Passo 6
Somar as transformadas de cada parcela (pela linearidade):
Sobre a região de convergência:
exige
, enquanto os outros termos exigem
. A interseção é
, portanto a resposta é válida para
.