Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
2 t^{2} e^{-t}-t+\cos 4 t

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace da função
2 t^{2} e^{-t}-t+\cos 4 t.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a soma de três parcelas: \;2 t^{2} e^{-t}, \;-t e \;\cos 4 t.
  • Precisa-se da transformada de Laplace dessa função inteira (ou seja, usar linearidade e propriedades usuais).
    Não se faz aqui nenhum cálculo — apenas foi identificado o que se pede e quais termos aparecem.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (linearidade):
\mathcal{L}\{f(t)+g(t)\}=\mathcal{L}\{f(t)\}+\mathcal{L}\{g(t)\},\qquad \mathcal{L}\{c\,f(t)\}=c\,\mathcal{L}\{f(t)\},
onde \mathcal{L}\{\cdot\} denota a transformada de Laplace e c é constante.
Portanto vamos calcular a transformada de cada parcela separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Transformada do termo \;2 t^{2} e^{-t}.
Primeiro, lembrar a transformada de t^{n} (fórmula padrão):
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}\quad\text{para \(n\) inteiro não negativo e \(s>0\).}ã
Breve justificativa (para ficar na cabeça): usa-se a propriedade
\mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\},
aplicada repetidamente a \mathcal{L}\{1\}=1/s; com isso obtém-se \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}, \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3} etc. Em particular:
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}}.
Multiplicando por 2 (linearidade),
\mathcal{L}\{2t^{2}\}=\frac{4}{s^{3}}.
Agora aplicar a propriedade de deslocamento em frequência (efeito do fator exponencial e^{-at}):
\mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a)\quad\text{se }\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
Aqui a=1, logo substituir s por s+1 em 4/s^{3}. Assim
\mathcal{L}\{2 t^{2} e^{-t}\}=\frac{4}{(s+1)^{3}}.

Passo 4

Transformada do termo -t.
Usando a fórmula de t^{n} com n=1:
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}.
Pelo fator -1,
\mathcal{L}\{-t\}=-\frac{1}{s^{2}}.

Passo 5

Transformada do termo \cos 4t.
Fórmula padrão:
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\quad\text{para \(\operatorname{Re}(s)>0\).}
Aqui \omega=4, então
\mathcal{L}\{\cos 4t\}=\frac{s}{s^{2}+16}.

Passo 6

Somar as transformadas de cada parcela (pela linearidade):
\mathcal{L}\{2 t^{2} e^{-t}-t+\cos 4 t\} =\frac{4}{(s+1)^{3}}-\frac{1}{s^{2}}+\frac{s}{s^{2}+16}.
Sobre a região de convergência: \mathcal{L}\{2t^{2}e^{-t}\} exige \operatorname{Re}(s)>-1, enquanto os outros termos exigem \operatorname{Re}(s)>0. A interseção é \operatorname{Re}(s)>0, portanto a resposta é válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\frac{4}{(s+1)^{3}}-\frac{1}{s^{2}}+\frac{s}{s^{2}+16}

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