Use a definição para determinar a transformada de Laplace da função dada.
e^{6 t}

Passo 1

O enunciado pede para, usando a definição, determinar a transformada de Laplace da função \,e^{6t}\,.
Informações que temos:
  • A função a transformar é \,f(t)=e^{6t}\,.
  • A transformação pedida é a transformada de Laplace, que por definição usa a integração de t=0 até t=\infty.
    Não vou começar a calcular ainda — só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Vamos escrever a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa.
A definição é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Explicando:
  • \mathcal{L}\{f\}(s) é a transformada de Laplace da função f.
  • s é a variável da transformada; geralmente tratamos s como um número complexo s=\sigma+i\omega. Para a convergência da integral interessa a parte real \operatorname{Re}(s)=\sigma.
  • A integral é imprópria porque o limite superior é \infty; por isso, depois de integrar precisamos analisar o limite quando t\to\infty.

Passo 3

Substituímos f(t)=e^{6t} na definição. Temos
\mathcal{L}\{e^{6t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{6t}\,dt.

Passo 4

Simplificamos o integrando juntando as exponenciais. Como e^{-s t}\,e^{6t}=e^{-(s-6)t}, obtemos
\mathcal{L}\{e^{6t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-6)t}\,dt.
Agora lembramos a primitiva de uma exponencial: para um parâmetro \alpha com \operatorname{Re}(\alpha)>0,
\int e^{-\alpha t}\,dt = -\frac{1}{\alpha}\,e^{-\alpha t}+C.
Aqui \alpha = s-6. A condição \operatorname{Re}(\alpha)>0 será necessária para que a integral imprópria convirja (explico já já por quê).

Passo 5

Aplicando a primitiva e avaliando a integral imprópria de 0 a \infty:
\mathcal{L}\{e^{6t}\}(s) = \lim_{T\to\infty}\int_{0}^{T} e^{-(s-6)t}\,dt = \lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{s-6}\,e^{-(s-6)t}\right]_{t=0}^{t=T}.
Isso dá
\mathcal{L}\{e^{6t}\}(s) = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s-6}e^{-(s-6)T} + \frac{1}{s-6}e^{0}\right) = \frac{1}{s-6} \;-\; \frac{1}{s-6}\lim_{T\to\infty}e^{-(s-6)T}.
Para que \lim_{T\to\infty}e^{-(s-6)T}=0 é preciso que a parte real de (s-6) seja positiva, isto é \operatorname{Re}(s-6)>0 ou equivalentemente \operatorname{Re}(s)>6. Quando isso ocorre o segundo termo some e resta
\mathcal{L}\{e^{6t}\}(s)=\frac{1}{s-6},
válido para \operatorname{Re}(s)>6.

Passo 6

Resumo didático e dica para prova: sempre que tiver \,e^{at}\, a transformada (pela definição) dá
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \operatorname{Re}(s)>a.
Aqui a=6. Uma checagem rápida: para s=8 (que satisfaz \operatorname{Re}(s)>6) a transformada vale \frac{1}{8-6}=\frac{1}{2}. Guardar essa forma generalizada ajuda muito em prova — em vez de recomputar cada vez, lembre-se de integrar exponenciais juntando os expoentes.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{6t}\}(s)=\frac{1}{s-6},\quad \operatorname{Re}(s)>6

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