Use a definição para determinar a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para, usando a definição, determinar a transformada de Laplace da função
.
Informações que temos:
Informações que temos:
- A função a transformar é
. - A transformação pedida é a transformada de Laplace, que por definição usa a integração de
até .
Não vou começar a calcular ainda — só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Vamos escrever a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa.
A definição é
Explicando:
-
é a transformada de Laplace da função . -
é a variável da transformada; geralmente tratamos como um número complexo . Para a convergência da integral interessa a parte real . - A integral é imprópria porque o limite superior é
; por isso, depois de integrar precisamos analisar o limite quando .
Passo 3
Substituímos
na definição. Temos
Passo 4
Simplificamos o integrando juntando as exponenciais. Como
, obtemos
Agora lembramos a primitiva de uma exponencial: para um parâmetro
com
,
Aqui
. A condição
será necessária para que a integral imprópria convirja (explico já já por quê).
Passo 5
Aplicando a primitiva e avaliando a integral imprópria de
a
:
Isso dá
Para que
é preciso que a parte real de
seja positiva, isto é
ou equivalentemente
. Quando isso ocorre o segundo termo some e resta
válido para
.
Passo 6
Resumo didático e dica para prova: sempre que tiver
a transformada (pela definição) dá
Aqui
. Uma checagem rápida: para
(que satisfaz
) a transformada vale
. Guardar essa forma generalizada ajuda muito em prova — em vez de recomputar cada vez, lembre-se de integrar exponenciais juntando os expoentes.