Determine a Transformada de Laplace das funções a seguir:
y(t)=\left(t e^{-2 t} u(t)\right) *\left(e^{2 t} \sin (3 t) u(t)\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
y(t)=\bigl(t\,e^{-2t}u(t)\bigr)*\bigl(e^{2t}\sin(3t)\,u(t)\bigr),
ou seja, uma convolução de duas funções causais. Vamos usar o teorema da convolução, que diz que
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\,\mathcal{L}\{g\}(s).

Passo 2

Calcular a transformada de Laplace de f(t)=t\,e^{-2t}u(t). Sabemos que
\mathcal{L}\{t\,e^{-a t}u(t)\}(s)=\frac{1}{(s+a)^{2}}.
Aqui a=2, logo
F(s)=\mathcal{L}\{t\,e^{-2t}u(t)\}(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}.

Passo 3

Calcular a transformada de Laplace de g(t)=e^{2t}\sin(3t)\,u(t). Sabemos que
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(b t)u(t)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a=2 e b=3, então
G(s)=\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(3t)\,u(t)\}(s)=\frac{3}{(s-2)^{2}+9}.

Passo 4

Pela propriedade da convolução, a transformada de y(t) é
Y(s)=F(s)\,G(s) =\frac{1}{(s+2)^{2}}\;\cdot\;\frac{3}{(s-2)^{2}+9}.

Resposta

Y(s)=\frac{3}{(s+2)^{2}\,\bigl((s-2)^{2}+9\bigr)}.

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