Determine a Transformada de Laplace das funções a seguir:
x(t)=t e^{-3 t} \cos (5 t) u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
x(t)=t\,e^{-3t}\cos(5t)\,u(t).
O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar duas ideias principais:
  1. A fórmula direta para \mathcal{L}\{e^{-3t}\cos(5t)\}.
  2. A propriedade de multiplicação por t:
\mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}\bigr].

Passo 2

Primeiro lembramos que, para a>0 e \omega>0,
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(\omega t)\} = \frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}.
No nosso caso a=3 e \omega=5, logo
F(s)\;\equiv\;\mathcal{L}\{e^{-3t}\cos(5t)\} = \frac{s+3}{(s+3)^2+25}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de multiplicação por t. Como
x(t)=t\,[e^{-3t}\cos(5t)],
temos
\mathcal{L}\{x(t)\} = \mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\frac{d}{ds}\bigl[F(s)\bigr] = -\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{s+3}{(s+3)^2+25}\Bigr].

Passo 4

Calculamos a derivada: seja
G(s)=\frac{s+3}{(s+3)^2+25}.
Então
G'(s) = \frac{1\cdot\bigl((s+3)^2+25\bigr) - (s+3)\cdot2(s+3)}{\bigl((s+3)^2+25\bigr)^2} = \frac{(s+3)^2+25 -2(s+3)^2}{\bigl((s+3)^2+25\bigr)^2} = \frac{25 - (s+3)^2}{\bigl((s+3)^2+25\bigr)^2}.
Portanto,
\mathcal{L}\{x(t)\} = -G'(s) = \frac{(s+3)^2 -25}{\bigl((s+3)^2+25\bigr)^2}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{t\,e^{-3t}\cos(5t)\} = \frac{(s+3)^2 -25}{\bigl((s+3)^2+25\bigr)^2}.}

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