Determine a transformada de Laplace inversa de:
F(s)=\frac{e^{-4 s}}{s+2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{e^{-4 s}}{s+2}.
Informações dadas: há um fator exponencial e^{-4s} multiplicando uma função racional \frac{1}{s+2}. A tarefa é encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Recordando o que é a transformada de Laplace: para uma função f(t) definida para t\ge 0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
A transformada inversa busca a função f(t) cuja integral acima gera F(s). Vou usar propriedades padrão da transformada de Laplace (vou explicá-las em detalhes nos próximos passos).

Passo 3

Primeiro, invertamos a parte simples \frac{1}{s+2}. Lembre que
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-2t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt.
Calcule a integral: para \operatorname{Re}(s+2)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s+2)t}}{-(s+2)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+2}.
Portanto a transformada de Laplace de e^{-2t} é \frac{1}{s+2}. Conclusão: a transformada inversa de \frac{1}{s+2} é e^{-2t} (para t\ge 0).

Passo 4

Agora explique a propriedade de deslocamento no tempo (time-shifting), essencial aqui. Propriedade: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)\), então, para \(a>0\), \[\mathcal{L}\{f(t-a)\,u(t-a)\}(s)=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau de Heaviside (ou função unitária) definida por
u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\\ 1,&t\ge a.\end{cases}
Prova curta da propriedade: comece com a definição
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t-a)u(t-a)\,dt = \int_{a}^{\infty} e^{-st} f(t-a)\,dt.
Faça a mudança de variável \tau=t-a\]. Então \(t=\tau+a e quando t vai de a até \infty, \tau vai de 0 até \infty. Assim
\int_{a}^{\infty} e^{-st} f(t-a)\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-s(\tau+a)} f(\tau)\,d\tau = e^{-as}\int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} f(\tau)\,d\tau = e^{-as}F(s).
Isso mostra a propriedade. Intuição prática: multiplicar por e^{-as} no domínio de s corresponde a atrasar a função no domínio do tempo e “ligar” essa função apenas a partir de t=a.

Passo 5

Aplique a propriedade ao nosso problema. Já sabemos que a transformada inversa de \frac{1}{s+2} é e^{-2t}. Nosso F(s) é e^{-4s} multiplicando \frac{1}{s+2}. Comparando com a propriedade de deslocamento, temos a=4 e f(t)=e^{-2t}. Portanto a transformada inversa de F(s) é
f(t-4)\,u(t-4)=e^{-2(t-4)}\,u(t-4).

Passo 6

Verificação direta (checagem rápida): calcule a transformada de Laplace da função proposta g(t)=e^{-2(t-4)}u(t-4):
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{4}^{\infty} e^{-st} e^{-2(t-4)}\,dt = e^{8}\int_{4}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt.
Avalie a integral:
e^{8}\int_{4}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt = e^{8}\left[\frac{e^{-(s+2)t}}{-(s+2)}\right]_{4}^{\infty}=\frac{e^{8}e^{-4(s+2)}}{s+2}.
Simplificando o expoente:
e^{8}e^{-4(s+2)}=e^{8}e^{-4s-8}=e^{-4s},
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\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\frac{e^{-4s}}{s+2}=F(s),
o que confirma que a inversa encontrada está correta.

Resposta

f(t)=e^{-2(t-4)}\,u(t-4).

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