Determine a transformada de Laplace inversa de:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
Informações dadas: há um fator exponencial
multiplicando uma função racional
. A tarefa é encontrar
tal que
.
Passo 2
Recordando o que é a transformada de Laplace: para uma função
definida para
,
A transformada inversa busca a função
cuja integral acima gera
. Vou usar propriedades padrão da transformada de Laplace (vou explicá-las em detalhes nos próximos passos).
Passo 3
Primeiro, invertamos a parte simples
. Lembre que
Calcule a integral: para
,
Portanto a transformada de Laplace de
é
. Conclusão: a transformada inversa de
é
(para
).
Passo 4
Agora explique a propriedade de deslocamento no tempo (time-shifting), essencial aqui. Propriedade: se
onde
é a função degrau de Heaviside (ou função unitária) definida por
Prova curta da propriedade: comece com a definição
Faça a mudança de variável
e quando
vai de
até
,
vai de
até
. Assim
Isso mostra a propriedade. Intuição prática: multiplicar por
no domínio de
corresponde a atrasar a função no domínio do tempo e “ligar” essa função apenas a partir de
.
Passo 5
Aplique a propriedade ao nosso problema. Já sabemos que a transformada inversa de
é
. Nosso
é
multiplicando
. Comparando com a propriedade de deslocamento, temos
e
. Portanto a transformada inversa de
é
Passo 6
Verificação direta (checagem rápida): calcule a transformada de Laplace da função proposta
:
Avalie a integral:
Simplificando o expoente:
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o que confirma que a inversa encontrada está correta.