Determine a transformada de Laplace inversa de:
H(s)=\frac{s+4}{s(s+2)}

Passo 1

Enunciado: determinar a transformada de Laplace inversa de
H(s)=\frac{s+4}{s(s+2)}.
O que é pedido: encontrar a função temporal h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
H(s)=\frac{s+4}{s(s+2)}.
O denominador fatorou-se como s(s+2), logo há polos em s=0 e s=-2. A função racional tem grau do numerador menor que o do denominador (grau 1 < grau 2), então é uma função própria — isso permite decomposição parcial em frações simples do tipo \dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+2}.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
  • A transformada de Laplace inversa \mathcal{L}^{-1}\{\cdot\} pega uma função de s e devolve a função de tempo t cuja transformada direta é essa função de s.
  • Propriedade da linearidade: para quaisquer constantes a,b e transformadas F(s),G(s),
\mathcal{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+b\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
Isto é útil porque podemos decompor H(s) em somas de frações simples e inverter cada pedaço separadamente.
  • Pares usuais que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
    • \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Aqui 1 significa a função constante f(t)=1 (para t\ge0).
    • \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}. Aqui a é uma constante; por exemplo, \mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\dfrac{1}{s+2}.
      Esses pares dizem: se aparecer \dfrac{1}{s} na expressão em s, a inversa é 1; se aparecer \dfrac{1}{s+2}, a inversa é e^{-2t}.

Passo 3

Aplicação prática: decompor H(s) em frações simples.
Escrevemos
\frac{s+4}{s(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+2) (para eliminar denominadores), obtemos a identidade em s:
s+4 = A(s+2)+Bs.
Desenvolvendo o lado direito:
s+4 = (A+B)s + 2A.
Agora igualamos coeficientes dos termos em s e dos termos constantes (método padrão para identidades polinomiais):
  • Coeficiente de s: 1 = A + B.
  • Termo constante: 4 = 2A.
Da segunda igualdade tiramos A:
A=\frac{4}{2}=2.
Substituindo em 1=A+B vem
B = 1 - A = 1 - 2 = -1.

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição temos
H(s)=\frac{2}{s}-\frac{1}{s+2}.
Agora aplicamos a linearidade e os pares padrão:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2}{s}\right\}=2\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=2\cdot 1 = 2.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+2}\right\} = e^{-2t}.
    Portanto, juntando (lembrando do sinal negativo),
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}=2 - e^{-2t},
valendo para t\ge 0. (Se quiser ser explícito sobre causalidade: para t<0 normalmente tomamos h(t)=0.)

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova para conferir contas): aplicando a transformada direta em h(t)=2-e^{-2t},
\mathcal{L}\{2-e^{-2t}\} = \frac{2}{s} - \frac{1}{s+2}.
Colocando sobre um denominador comum:
\frac{2}{s} - \frac{1}{s+2} = \frac{2(s+2)-s}{s(s+2)} = \frac{2s+4 - s}{s(s+2)} = \frac{s+4}{s(s+2)},
que é exatamente H(s). Portanto a inversa encontrada está correta.

Resposta

h(t)=2-e^{-2t} (para t\ge 0).

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