Determine a transformada de Laplace inversa de:
Passo 1
Enunciado: determinar a transformada de Laplace inversa de
O que é pedido: encontrar a função temporal
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O denominador fatorou-se como
, logo há polos em
e
. A função racional tem grau do numerador menor que o do denominador (grau
< grau
), então é uma função própria — isso permite decomposição parcial em frações simples do tipo
.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
- A transformada de Laplace inversa
pega uma função de e devolve a função de tempo cuja transformada direta é essa função de . - Propriedade da linearidade: para quaisquer constantes
e transformadas ,
Isto é útil porque podemos decompor
em somas de frações simples e inverter cada pedaço separadamente.
- Pares usuais que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
-
. Aqui significa a função constante (para ). -
. Aqui é uma constante; por exemplo, .
Esses pares dizem: se aparecerna expressão em , a inversa é ; se aparecer , a inversa é .
-
Passo 3
Aplicação prática: decompor
em frações simples.
Escrevemos
Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar denominadores), obtemos a identidade em
:
Desenvolvendo o lado direito:
Agora igualamos coeficientes dos termos em
e dos termos constantes (método padrão para identidades polinomiais):
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Da segunda igualdade tiramos
:
Substituindo em
vem
Passo 4
Substituindo
e
na decomposição temos
Agora aplicamos a linearidade e os pares padrão:
-
-
Portanto, juntando (lembrando do sinal negativo),
valendo para
. (Se quiser ser explícito sobre causalidade: para
normalmente tomamos
.)
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova para conferir contas): aplicando a transformada direta em
,
Colocando sobre um denominador comum:
que é exatamente
. Portanto a inversa encontrada está correta.